Лабораторная работа №9

Решение задач линейного программирования

Оптимизационные (экстремальные) модели в экономике возникают при практической реализации принципа оптимальности в управлении.

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение Х = (х₁, х₂, …, х_n), где х_j, j = 1, ..., n, - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

«Наилучшим образом» здесь означает выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности в экстремальных моделях — «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум объема работ (услуг)» и др.

Рассмотрим пример реализации оптимизационной задачи с помощью табличного процессора Excel.

Фабрика выпускает два вида красок: для внутренних работ(I) и для внешних работ (E). Для производства красок используется два вида исходного продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расход красок приведен в таблице

Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски		Максимально возможный запас
	Краска E	Краска I
A B	1 2	2 1	6 8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1 тонну. Спрос на краску I никогда не превышает 2 тонны в сутки.

Оптовые цены одной тонны краски равны 3000 денежных единиц для краски E и 2000 денежных единиц для краски I.

Какое количество краски каждого вида необходимо произвести, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Составим математическую модель задачи.

Введем обозначения:

x- количество краски E;

y- количество краски I.

Получим систему неравенств

Целевая функция будет иметь вид: Z=6x+8y max.

Для решения данной задачи средствами MS Excel подготовим лист следующего вида:

В ячейках B5 и C5 первоначально можно установить любое значение объема производства, обычно ставят все значения равные 0. В ячейках B6 и B7 найдем объем использованных исходных продуктов A и B, для чего введем формулы СУММПРОИЗВ(B3:C3;B5:C5) и СУММПРОИЗВ(B4:C4;B5:C5) соответственно. В ячейку B10 введем формулу СУММПРОИЗВ(B5:C5;B8:C8). Теперь можно переходить к нахождению решений.

Выделим ячейку B9, откроем пункт меню «Сервис» и запустим «Поиск решений». Появляется диалоговое окно:

После заполнения всех необходимых полей окна оно примет вид:

Теперь необходимо нажать кнопку «Выполнить», после чего исходная таблица примет вид:

Оптимальный план выпуска продукции отображается в ячейках B5 и C5.

Другие типы задач линейного программирования, такие как, транспортная задача или задача о назначениях, могут быть реализованы в MS Excel по такому же алгоритму.

Рассмотрим пример транспортной задачи.

Задача: Заводы автомобильной фирмы расположены в городах A, B, C. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах N и M. Объемы производства указанных заводов равняются 1000, 1500 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимость перевозки 1 автомобиля на 1 милю равна 8 центам. Расстояния между пунктами приведены в таблице.

Расстояние между пунктами (миля)		Пункты назначения
		N	M
Пункты отправления	A	1000	2690
	B	1250	1350
	C	1275	850

Найти оптимальный план перевозок продукции из пунктов производства в пункты распределения.

Решение.

Выясним, что означает понятие «оптимальный план перевозок». Под этим понятием понимают такое распределение произведенной продукции, при котором суммарная стоимость перевозок из всех пунктов производства в пункты назначения, будет минимальной.

Так же необходимо отметить, что данная задача является сбалансированной, т.е. общее количество продукции в центрах производства равно общему количеству продукции, которую необходимо доставить в центры распределения.