12. Обратные тригонометрические функции

аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| ≤ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ≥ 1; две последние функции малоупотребительны.

Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — π/2 ≤ arc sin х ≤ π/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 ≤ arc cos х ≤ π, — π/2 < arc tg x < π/2, 0 x < π. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = ± arc cos x +2πn,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например

n = 0, ±1, ±2,

Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы

вытекает, что

Производные О. т. ф. имеют вид

О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например

эти ряды сходятся для —1 ≤ x ≤ 1.

О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например

13. Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

=

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или -∞ ), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечную производную.Производная обозначается символами

y ' , f ' (xo), , . , ,

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t0.

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v2;

5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

14. Теорема

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы:

1) (u±v)/=u/±v/,

2) (u·v)/=u/v+v/u,

3) (vu)=v2u/v−v/u.

Доказательство

Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]= .

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.

Теорема доказана.

15. Операция интегрирования функции обладает некоторыми свойствами, которые помогают при вычислении неопределенных интегралов. Ниже выписана таблица основных свойств интегралов.

Данные свойства позволяют свести исходный неопределенный интеграл к серии более легких и простых интегралов, которые берутся из основной таблицы неопределенных интегралов.

где

Здесь C-произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределенный интеграл определяется с точностью до постоянной.

Определение. Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

16. Рассмотрим два произвольных действительных числа а и b , удовлетворяющих условиям (1)

Определение. Логарифмом числа b по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b .

В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.

Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием 10, а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число e , которое определяется по формуле

Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:

и причем

17. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день.

1.loga x + loga y = loga (x · y);

2.loga x − loga y = loga (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Теорема

Пусть дан логарифм loga x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство: В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.