8. Тригонометрические функции
один из важнейших классов элементарных функций.
Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами A'A и B'B (рис. 1). От точки А по окружности откладываются дуги произвольной длины, которые считаются положительными, если откладываются в направлении от А к В (против часовой стрелки), и отрицательными, если они откладываются в направлении от А к B' (по часовой стрелке). Если С — конец дуги, имеющей длину φ, то проекция OP радиуса OC на диаметр A'A называется косинусом дуги φ (OP = cos φ). При этом под проекцией OP понимается длина направленного отрезка OA, и со знаком минус, если она лежит на радиусе OA'; Проекция OQ радиуса OC на диаметр B'B (равная +OQ, если точка Q лежит на радиусе OB, и равная -OQ, если она лежит на радиусе OB') называется синусом дуги φ (OQ = sin φ). Т. ф. cos φ и sin φ не могут принимать значений, по абсолютной величине превосходящих 1, то есть
|cosφ| ≤ 1, |sinφ| ≤ 1.
Иначе cosφ и sinφ могут быть определены как прямоугольные декартовы координаты точки С, лежащей на дуге окружности единичного радиуса, центр которой в начале координат, ось абсцисс направлена по диаметру A'A, а ось ординат — по диаметру B'B.
Так как центральный угол в радианной мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cosφ и sinφ можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать число, которое можно рассматривать геометрически как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере. Для острых углов φ (0 < φ < π/2), и только для них, Т. ф. cos φ и sin φ можно рассматривать как отношение катетов прямоугольного треугольника, прилежащего углу или противолежащего углу, к гипотенузе. Дуга AB окружности называется 1-й её четвертью, соответственно дуги BA' — 2-й, A'B' — 3-й, B'A — 4-й четвертями. Для углов φ из 1-й четверти: cosφ > 0, sinφ > 0, из 2-й четверти: cosφ < 0, sinφ > 0, из 3-й четверти: cosφ < 0, sinφ < 0, из 4-й четверти: cosφ > 0, sinφ < 0. Кроме того, cosφ — чётная функция: cos (—φ) = cosφ, а sinφ — нечётная функция: sin (—φ) = —sinφ.
С помощью основных Т. ф. можно определить другие Т. ф.: тангенс tgφ = sinφ /cosφ, котангенс ctgφ = cosφ /sinφ, секанс secφ = 1/cosφ, косеканс cosecφ = 1/sinφ. При этом tgφ и secφ определяются только для таких φ, для которых cosφ ≠ 0; а ctgφ и cosecφ для тех φ, для которых sinφ ≠ 0; функция secφ — чётная, а функции cosecφ, tgφ и ctgφ — нечётные. Эти функции также могут быть представлены геометрически отрезками прямых (рис. 1): tgφ = AL, ctgφ = BK, secφ = OL, cosecφ = OK (для острых углов φ и соответствующими отрезками для других углов). С этим геометрическим представлением связано и происхождение названий Т. ф. Так, латинское tangens означает касательную (tgφ изображается отрезком AL касательной к окружности), secans — секущую (secφ изображается отрезком OL секущей к окружности). Название «синус» (лат. sinus — изгиб, пазуха) представляет собой перевод арабского «джайб», являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова «джива» (буквально — тетива лука), которым индийские математики обозначали синус. Названия «косинус», «котангенс», «косеканс» представляют собой сокращения термина complementi sinus (синус дополнения) и ему подобных, выражающих тот факт, что cosφ, ctgφ и cosecφ равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента (дуги или угла), дополнительного к φ (до или, в градусной мере, до 90°):
cosφ = sin ( — φ); ctgφ = tg ( — φ);
cosecφ = sec ( — φ).
Подобно синусу и косинусу, остальные Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и котангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.
Так как точка С, являющаяся концом дуги φ, служит одновременно концом дуг φ + 2π, φ + 4π, … (2π — длина окружности), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sinφ, cosφ, secφ, cosecφ является число 2π (угол в 360°), а основным периодом tgφ и ctgφ — число π (угол в 180°). Графики Т. ф. см. на рис. 2.
Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом соотношений:
sin2φ + cos2φ = 1,
tg2φ + 1 = sec2φ; ctg2φ + 1 = cosec2φ.
Для некоторых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрических соображений (табл.).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| Аргумент | Тригонометрические функции |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| в градусах | в радианах | sinφ | cosφ | tgφ | ctgφ | secφ | cosecφ |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 0˚ | 0 | 0 | 1 | 0 | не | 1 | не существует |
| | | | | | существует | | |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 30˚ | π/6 | 1/2 | √3/2 ≈ 0,8660 | √3/3 ≈ 0,5774 | √3 ≈ 1,7322 | 2√3/3 ≈ 1,1547 | 2 |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 45˚ | π/4 | √2/2 ≈ 0,7071 | √2/2 ≈ 0,7071 | 1 | 1 | √2 ≈ 1,4142 | √2 ≈ 1,4142 |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 60˚ | π/3 | √3/2 ≈ 0,8660 | 1/2 | √3 ≈ | √3/3 ≈ 0,5774 | 2 | 2√3/3 ≈ 1,1547 |
| | | | | 1,7322 | | | |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 90˚ | π/2 | 1 | 0 | не существует | 0 | не существует | 1 |
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. КОСИНУС — (ново лат. cosinus, вместо complementi sinus дополнение синуса). Синус угла дополнения: в прямоугольном треугольнике косинус угла есть частное от деления прилежащего катета на гипотенузу. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка … Словарь иностранных слов русского языка
КОСИНУС — (cosine) В прямоугольном треугольнике отношение катета и гипотенузы, образующих угол. Косинус угла х записывается как cos х. Если начертить окружность радиусом, равным единице, то при измерении величины угла против часовой стрелки, начиная с… … Экономический словарь
КОСИНУС — КОСИНУС, в ТРИГОНОМЕТРИИ отношение длины стороны, прилежащей к острому углу, к длине ГИПОТЕНУЗЫ в прямоугольном треугольнике. Сокращенно косинус угла А обозначают как cos A … Научно-технический энциклопедический словарькосинус — м мат. Kosinus m неизм … Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
КОСИНУС — КОСИНУС, косинуса, муж. (лат. cosinus) (мат.). Синус дополнительного угла, функция угла, выражаемая отношением прилегающего к углу катета к гипотенузе. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КОСИНУС — КОСИНУС, а, муж. (спец.). Тригонометрическая функция угла, в прямоугольном треугольнике равная отношению к гипотенузе катета, прилежащего к данному острому углу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
косинус — а; м. [от лат. co вместе и sinus изгиб, кривизна] Матем. Одна из тригонометрических функций синус дополнительного угла. Большой толковый словарь русского языка. 1 е изд е: СПб.: Норинт. С. А. Кузнецов. 1998 … Толковый словарь русского языка Кузнецова
косинус — сущ., кол во синонимов: (1) • ↑функция (45) Словарь синонимов ASIS, Тришин В.Н., 2010 … Словарь синонимов
Косинус — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
КОСИНУС — одна из тригонометрических функций: Область определения вся числовая прямая, область значений отрезок [ 1; 1]; К. функция четная периодическая с периодом 2л. К. и синус связаны формулой К. и секанс связаны формулой Производная К.: Интеграл от К …
10. ТАНГЕНС — (лат. tangens, от tangere касаться). Линия, касательная к окружности, т. е. прямая черта, коснувшаяся окружности или дуги в одной точке. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТАНГЕНС в тригонометрии… … Словарь иностранных слов русского языка
ТАНГЕНС — ТАНГЕНС, в ТРИГОНОМЕТРИИ ОТНОШЕНИЕ между длинами сторонами (катетов), противолежащей и прилежащей острому углу в прямоугольном ТРЕУГОЛЬНИКЕ (третья сторона гипотенуза). Выражение, обозначающее тангенс угла А, обычно сокращается до tg(A);… … Научно-технический энциклопедический словарь
тангенс — м мат. Tangens ( g E n s ] m неизм … Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
ТАНГЕНС — ТАНГЕНС, тангенса, муж. (лат. tangens касающийся) (мат.). Тригонометрическая функция угла, равная в прямоугольном треугольнике отношению катета, лежащего против данного острого угла, к другому катету. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935… … Толковый словарь Ушакова
ТАНГЕНС — ТАНГЕНС, а, муж. Тригонометрическая функция, равная отношению синуса к косинусу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
ТАНГЕНС — муж., лат., геом. касательная; прямая черта, коснувшаяся дуги в одной точке. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
ТАНГЕНС — см. Разбивка кривой. Технический железнодорожный словарь. М.: Государственное транспортное железнодорожное издательство. Н. Н. Васильев, О. Н. Исаакян, Н. О. Рогинский, Я. Б. Смолянский, В. А. Сокович, Т. С. Хачатуров. 1941 … Технический железнодорожный словарь
тангенс — а; м. [от лат. tangens касающийся] Матем. Тригонометрическая функция, равная отношению синуса к косинусу. Найти, вычислить т. График тангенса. Большой толковый словарь русского языка. 1 е изд е: СПб.: Норинт. С. А. Кузнецов. 1998 … Толковый словарь русского языка Кузнецова
тангенс — сущ., кол во синонимов: (1) • ↑функция (45) Словарь синонимов ASIS, Тришин В.Н., 2010 … Словарь синонимов
тангенс — tangent – гиперболический тангенс тангенс угла диэлектрических потерь dielectric dissipation factor, loss tangent тангенс угла потерь loss tangent … Русско-английский технический словарь
11. КОТАНГЕНС — (лат. cotangens, вместо complementi tangens дополнение тангенса). В тригонометрии, тангенс дуги, дополняющей данную дугу. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КОТАНГЕНС в тригонометрии тангенс… … Словарь иностранных слов русского языка
КОТАНГЕНС — КОТАНГЕНС, в ТРИГОНОМЕТРИИ отношение в прямоугольном треугольнике длины стороны, прилежащей к острому углу, к длине стороны, противолежащей этому углу. Котангенс угла А обычно сокращенно обозначают как ctg А. Это величина, обратная тангенсу … Научно-технический энциклопедический словарь
КОТАНГЕНС — (новолат. cotangens от complementi tangens тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций … Большой Энциклопедический словарь
КОТАНГЕНС — КОТАНГЕНС, котангенса, муж. (лат. cotangens) (мат.). Тригонометрическая функция тангенс дополнительного угла. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
КОТАНГЕНС — КОТАНГЕНС, а, муж. (спец.). Тригонометрическая функция, равная отношению косинуса к синусу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
КОТАНГЕНС — муж., мат. тангенс дополненья к прямому углу. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
котангенс — сущ., кол во синонимов: (1) • ↑функция (45) Словарь синонимов ASIS, Тришин В.Н., 2010 … Словарь синонимов
Котангенс — Рис. 1 Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса Тригонометрические функции вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x),… … Википедия
котангенс — (новолат. cotangens, от complementi tangens тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций. * * * КОТАНГЕНС КОТАНГЕНС (новолат. cotangens, от complementi tangens тангенс (см. ТАНГЕНС) дополнения), одна из тригонометрических функций (