17. Минимальное покрытие множества функциональных зависимостей

Множество FD S2 называется покрытием множества FD S1, если любая FD, выводимая из S1, выводится также из S2.

Легко заметить, что S2 является покрытием S1 тогда и только тогда, когда S1⁺ S2⁺. Два множества FD S1и S2 называются эквивалентными, если каждое из них является покрытием другого, т. е. S1⁺ = S2⁺.

Множество FD S называется минимальным в том и только в том случае, когда удовлетворяет следующим свойствам:

1. правая часть любой FD из S является множеством из одного атрибута (простым атрибутом);

2. детерминант каждой FD из S обладает свойством минимальности; это означает, что удаление любого атрибута из детерминанта приводит к изменению замыкания S⁺, т. е. порождению множества FD, не эквивалентного S;

3. удаление любой FD из S приводит к изменению S⁺, т. е. порождению множества FD, не эквивалентного S.

Минимальным покрытием множества FD S называется любое минимальное множество FD S1, эквивалентное S.

Поскольку для каждого множества FD существует эквивалентное минимальное множество FD, у каждого множества FD имеется хотя бы одно минимальное покрытие, причем для его нахождения не обязательно находить замыкание исходного множества.

27. Многозначные зависимости. Теорема Фейджина. Четвертая нормальная форма

Заметим, что последний вариант переменной отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН находится в BCNF, поскольку все атрибуты заголовка отношения входят в состав единственно возможного ключа. В этом отношении вообще отсутствуют нетривиальные FD. Поэтому ранее обсуждавшиеся принципы нормализации здесь неприменимы, но, тем не менее, мы получили полезную декомпозицию. Все дело в том, что в случае четвертого варианта отношения СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН мы имеем дело с новым видом зависимости, впервые обнаруженным Роном Фейджином в 1971 г. Фейджин назвал зависимости этого вида многозначными (multi-valued dependency – MVD). Как мы увидим немного позже, MVD является обобщением понятия FD.

В отношении СЛУЖ_ПРО_ЗАДАН выполняются две MVD: СЛУ_НОМ ПРО_НОМ и СЛУ_НОМ СЛУ_ЗАДАН. Первая MVD означает, что каждому значению атрибута СЛУ_НОМ соответствует определяемое только этим значением множество значений атрибута ПРО_НОМ. Другими словами, в результате вычисления алгебраического выражения

(СЛУЖ_ПРО_НОМ WHERE (СЛУ_НОМ = сн AND СЛУ_ЗАДАН = сз)) PROJECT {ПРО_НОМ}

для фиксированного допустимого значения сн и любого допустимого значения сз мы всегда получим одно и то же множество значений атрибута ПРО_НОМ. Аналогично трактуется вторая MVD.

В переменной отношения R с атрибутами A, B, C (в общем случае, составными) имеется многозначная зависимость B от A (A B) в том и только в том случае, когда множество значений атрибута B, соответствующее паре значений атрибутов A и C, зависит от значения A и не зависит от значения C.

Многозначные зависимости обладают интересным свойством «двойственности», которое демонстрирует следующая лемма.

27. Лемма Фейджина

В отношении R {A, B, C} выполняется MVD A B в том и только в том случае, когда выполняется MVD A C.

Доказательство достаточности условия леммы. Пусть выполняется MVD A B. Пусть имеется некоторое удовлетворяющее этой зависимости значение r переменной отношения R, a обозначает значение атрибута A в некотором кортеже тела B_r, а {b} – множество значений атрибута B, взятых из всех кортежей B_r, в которых значением атрибута A является a. Предположим, что для этого значения a MVD A C не выполняется. Это означает, что существуют такое допустимое значение c атрибута C и такое значение b {b}, что кортеж {a, b, c} B_r. Но это противоречит наличию MVD A B. Следовательно, если выполняется MVD A B, то выполняется и MVD A C. Аналогично можно доказать необходимость условия леммы.

Таким образом, MVD A B и A C всегда составляют пару. Поэтому обычно их представляют вместе в форме A   B | C.

FD является частным случаем MVD, когда множество значений зависимого атрибута обязательно состоит из одного элемента. Таким образом, если выполняется FD A B, то выполняется и MVD A B .³⁹⁾

Мы видим, что отношения СЛУЖ_ПРО_НОМ и СЛУЖ_ЗАДАНИЕ не содержат MVD, отличных от FD, и именно в этом выигрывает декомпозиция из рис. 9.2. Правомочность этой декомпозиции доказывается приведенной ниже теоремой Фейджина, которая является уточнением и обобщением теоремы Хита.