- •15 Метод інтегрування частинами
- •19) Властивості визначеного інтеграла
- •21.Первісна фінкції та визначений інтеграл.
- •22.Обчислення наближених значень деяких елементарних функцій
- •23.Обернена матриця, її побудова.
- •24. Система n-лінійних рівнянь з n невідомими.
- •25.Диференціал функції.Правила обчислення диференціалів.
- •27. Правила диференціювання
- •29 Означення похідної
- •30 Метод потенціалів
25.Диференціал функції.Правила обчислення диференціалів.
Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ. Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес, можна замінити диференціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну називають лінеаризацією процесу.
Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різниця) ввів у математику Лейбніц.
1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала
Нехай функція у = f (х) диференційовна в точці х [а; b], тобто в цій точці має похідну
Тоді з властивості 1o
при х 0,
звідки
(1)
Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f' (х) 0 є нескінченно малою одного порядку з х , тому що (гл. 4, п. 4.3):
Другий доданок — нескінченно мала вищого порядку, ніж х , тому що
Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту аргументу.
Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно х, частина приросту функції f(х) в цій точці:
dy = f' (х) х. (2)
Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку. Якщо у = х, то у' = х' = 1, тому dy = dx = х, тобто диференціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом х. Тому формулу (2) можна записати так:
dy = f'(x)dx. (3)
Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної.
Зауважимо, що коли в точці х0 похідна f' (х0) = 0, то перши й доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною частиною приросту . Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).
Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо
PN = y, QN = MNtg = хf'(x) = f'(x)dx = dy.
Отже, диференціал функції f (х) при заданих значеннях х і х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х. Приріст функції y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень х.
З 'ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом
S = f(t), де f(t) — диференційовна на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f'(t) при фіксованих значеннях t і — це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час , якби вона рухалась прямолінійно і рівномірно із сталою швидкістю . Зрозуміло, що фактичний шлях S у випадку нерівномірного руху на відміну від диференціала dS не є лінійною функцією часу і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + є майже рівномірним.
Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикладах, які розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває конкретного фізичного змісту.
2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала
Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v — диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:
d (u ± ) = du ± d ;
Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диференціала маємо
d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx — = vu'dx + uv'dx = vdu + udv.
Таблиця диференціалів
26
26.Метод Крамера— спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним). Метод було створено Габріелем Крамером у 1750 році. Для системи лінійних рівнянь з невідомими (над довільним полем)з визначником матриці системи , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:1-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).
1.[A]=0 чи не =0,
Система лінійних рівнянь: 2.- дельта [А]
Визначники:
Розв'язок:
Приклад:
Визначники: