19) Властивості визначеного інтеграла

Властивість 1. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтегралу: якщо  , то Властивість 2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми декількох функцій рівний алгебраїчній сумі інтегралів від доданків

Властивість 3. Якщо на відрізку   де  , функції   і   задовольняють умові  , то Властивість 4. Якщо   і   - найменше і найбільше значення функції   на відрізку   і  , то Властивість 5 (теорема про середнє). Якщо функція   неперервна на відрізку  , то на цьому відрізку знайдеться така точка  , що справедлива рівність Властивість 6. Для будь-яких чисел   справедлива рівність

21.Первісна фінкції та визначений інтеграл.

Функція   зветься первісною функції   на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо   — похідна функції   на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції   існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо   — будь-яка первісна функція   то  , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції  " посилається до множини   яка складається з усіх первісних функції   де   — довільнаконстанта.

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервнимфункціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — цевідрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

22.Обчислення наближених значень деяких елементарних функцій

Нехай потрібно обчислити значення функції f(x) при х = х₁ із заданою точністю .

Якщо функцію f(x) в інтервалі (-R; R) можна розкласти у степеневий ряд і , то точне значення f(x₁) дорівнює сумі ряду при х = х₁, тобто а наближене - частковій сумі тобто .

23.Обернена матриця, її побудова.

Якщо для квадратної матриці A існує така матриця X, що AX=XA=E(одинична матриця), то матрицю X називають оберненою матрицею до матриці A і позначають A^-1.

Обернена матриця для кожної матриці єдина.

Матриця, детермінант якої дорівнює нулю, називається особливою (виродженою). В іншому випадку, матриця називається неособливою (невиродженою).

Щоб матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була неособливою.

Якщо detA =0, то

A−1=1detA=  } =1detAA

, де Aij- алгебраїчні доповнення. Матрицю A  називають  приєднанною до матриці A.

24. Система n-лінійних рівнянь з n невідомими.

У загальному випадку система m лінійних рівнянь з n невідомими x1,x2….,xn має слідуючий вигляд:

a11x1 + a12x2 + … +a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … +a2nxn= b2

am1x1 + am2x2+…+ amnxn = bm  

Числа aij називають  коефіцієнтами системи, а числа bi --  вільними членами системи.

Розв'язком системи лінійних рівнянь називається упорядкована сукупність чисел a1, а2…аn (тобто, вектор), яка при підстановці замість невідомих перетворює кожне рівняння системи в тотожність.

Система лінійних рівнянь, яка має хоч один розв'язок, називається сумісною. Якщо система не має розв'язків, то вона називається несумісною.

Якщо сумісна система має лише один розв'язок, то її називають визначеною; в іншому випадку сумісну систему називають невизначеною.

Дві системи називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв'язків.

Матрицю коефіцієнтів системи лінійних рівнянь називають основною матрицею або, просто, матрицею системи.

Систему лінійних рівнянь перепишемо у вигляді:

1)матричний спосіб

)

( )

)

А^-1А*х=А^-1*В

Х=А^-1*В

2)Метод Крамера

∆₁=

∆₂=

3)метод гаусса

Спочатку зведемо розширену матрицю системи до східчастого виду. Нехай у матриці східчастого виду r ненульових рядків. Якщо в останньому ненульовому рядку всі елементи дорівнюють нулю, крім елемента з стовпця вільних членів, то система несумісна. Інакше, нехай перші ненульові коефіцієнти ненульових рядків матриці східчастого виду розташовані в стовпцях з номерами k1….kr. Тоді невідомі xk1….xkr називатимемо  головними, а усі інші -  вільними. Очевидно, кількість вільних невідомих дорівнює n−r. З матриці східчастого виду одержимо систему r рівняннь з n невідомими. Дістанемо вирази головних невўіомих через вільні. Ці вирази називаються загальним розв'язком системи.