§ 1.7. Понятие об электрической цепи. Задача анализа цепи

Электрическую цепь, приближенно отображающую электро­магнитные процессы в реальном устройстве, составляют путем соответствующего соединения между собой рассмотренных двухполюсных элементов: сопротивления, индуктивности, ем­кости и источников сигнала. В общем случае отдельные элементы, а также отдельные участки цепи могут соединиться произвольно. В результате получается электрическая схема, имеющая определенную геометрическую конфигурацию. На рис. 1.9показан пример схемы электрической цепи, составлен­ной из нескольких пассивных элементов, а также источников напряжения и тока.

Основными понятиями, характеризующими геометрическую конфигурацию цепи, являются ветвь и узел.

Под ветвью в общем случае понимают участок цепи с двумя выводами. Токи или напряжения ветви принимают в качестве неизвестных переменных, характеризующих состояние цепи. Поэтому, что конкретно следует понимать под ветвью, зависит от выбора переменных цепи. Ветвью можно считать каждый элемент цепи. Но для уменьшения числа переменных за ветви иногда принимают также участки из последовательного соеди­нения отдельных элементов, токи которых имеют одно и то же значение, и участки из параллельного соединения отдельных элементов, напряжения на которых имеют одно и то же значение (участкиае, сена рис. 1.9).

Узел электрической цепи—это точка на схеме, в которой сходятся две (или более) ветви (точки a, bна рис. 1.9).На схеме рис. 1.9источники напряжения включаются последовательно с ветвью цепи, а источник тока—параллельно ей. Это не случайно: дело в том, что при включении ветви параллельно идеальному источнику на­пряжения напряжение ветви известно—оно равно на­пряжению источника. Точно так же при последовательном соединении ветви с источни­ком тока ток ветви известен—он принудительно задается источником. Ветвь с за­ранее известным напряжением или током можно исключить из схемы цепи, подлежащей анализу. Поэтому на схеме ветви, соединенные параллельно источнику напряжения, и ветви, соединенные последовательно с источником тока, не будут изображаться.

Задача анализа электри­ческой цепи формулируется та­ким образом. Заданы схема электрической цепи со значения­

ми всех ее элементов, а также напряжения и токи источников, действующих в цепи. Требуется найти токи и напряжения ветвей. В дальнейшем будем применять общие термины, назы­вая заданные напряжения или токи источников функциями воз­буждения или сигналами, а искомые напряжения и токи вет­вей, определяемые в результате анализа цепи,—реакциями. Следовательно, требуется найти реакции цепи на действие заданных сигналов.

Выводы—узлы или ветви, реакции которых необходимо найти,—называют выходными, а выводы, к которым при­соединены источники,—входными. Часто реакции и сигналы называют выходом и входом цепи.

Цель курса состоит в том, чтобы дать знания, необходимые для анализа любой линейной цепи произвольной конфигура­ции с любым конечным числом элементов. Цепь произво­льной структуры, которая может содержать любое число элементов и иметь любую конфигурацию, изображают сим­волически в виде прямоугольника—«черного ящика». По­следний термин означает, что структура и элементы цепи неизвестны. На рис. 1.10,а показано символическое изобра­жение цепи спвходными и выходными выводами—полюсами, которую называют многополюсной или n-полюсной цепью. Хотя в общем случае может потребоваться определе­ние реакций—токов и напряжений всех ветвей или всех выводов,—часто ставится задача нахождения реакций в ог­раниченном числе ветвей: в одной, двух ветвях или выво­дах; нередко на цепь действует один источник сигнала. В указанном частном случае вводят понятие о четырех полюсной и двухполюсной цепях, которые показаны на рис. 1.10,б,в.

Четырех полюсная цепь имеет две пары выводов;

входную, к которой приложен сигнал и₁или i₁,и выходную с интересующей нас реакциейи₂ или i₂.

Двухполюсная цепь имеет одну пару выводов— здесь интересующей реакцией будет ток на входе при воздей­ствии источника напряжения или напряжение на входе при воздействии источника тока.

Для определения искомых реакций—напряжений и токов ветвей —необходимо составить уравнения цепи с помощью двух систем уравнений:

1)уравнений элементов, связывающих ток и напряже­ние каждого элемента. Такими уравнениями будут вольтамперные характеристики резистивного, индуктивного и емкост­ного элементов, приведенные в табл. 1.1,а также заданные напряжения и токи источников. Уравнения элементов не зависят от схемы и геометрической конфигурации цепи, в которую входят элементы;

2)уравнений соединений, которые определяются только геометрической конфигурацией и способами соединений ветвей (элементов цепи) и не зависят от вида и характера элементов. Уравнения соединений устанавливают связи между токами и напряжениями отдельных элементов, входящих в цепь

Уравнения соединений составляют на основе двух законов Кирхгофа, которые связывают токи ветвей, сходящихся в узлах, и напряжения ветвей, входящих в контуры; контуры представляют замкнутые пути, проходящие однократно через ряд ветвей и узлов.

Первый закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения заряда, дает уравнение равновесия токов в узле цепи и формулируется так: в любой момент алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

±i_k=0. (1.26)

Знак тока определяется выбором положительных направле­ний токов ветвей; токам, выходящим из узла, приписывают условно знак «+»,а током, входящим в узел,—знак «—».Так, для узла, изображенного на рис. 1.11,а, имеем

±i_k=-i₁+i₂+i₃+i₄=0.

Второй закон Кирхгофа, выражающий закон сохра­нения энергии, дает уравнение равновесия напряжений в контуре и формулируется следующим образом: в любой момент алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю

±и_k=0. (1.27)

Знак напряжения определяется выбором положительных полярностей напряжений ветвей: если при обходе контура перемещение происходит в сторону понижения или падения напряжения, то напряжению ветви условно приписывают знак «+»,если в сторону повышения напряжения—знак «—».

Для контура, показанного на рис. 1.11,6,имеем

±u_k=u₁+u₅-u₄-u₃-u₂=0.

Уточним данное ранее определение цепи как совокупности произвольного соединения элементов: соединение не должно приводить к противоречию с законами Кирхгофа и определениями характеристик элементов.В частности, нельзя различные источники тока последовательно, а источники напряжения—параллельно; не допускаются соединения, приводящие к схемам с контурами только из источников напряжения, и с узлами, в которых сходятся ветви только из источников тока. Нельзя также замыкать накоротко источники напряжения и размыкать источники тока—это противоречит определениям источника напряжения (тока) и короткого замыкания (разрыва).

Линейные цепи, составленные из элементов одного вида, например резистивных, описываются системами линейных алгебраических уравнений, а линейные цепи, состоящие из элементов различного вида и называемые динамическими,—системами линейных интегро-дифференциальных уравнений. Для иллюстрации данного положения составим уравнения простых цепей с тремя видами элементов. Примем простейшие конфигурации цепей, которые не требуют подготовки, необхо­димой для составления уравнений в случае цепей более сложной конфигурации.

Цепь из последовательно соединенных R-, L-, С-элементов. Составим на основе законов Кирхгофа уравнения соединений цепи. Применяя к узлам, в которых соединяются элементы, закон токов Кирхгофа (ЗТК), приходим к очевидному заключению о равенстве токов во всех элементах:

i_L=i_R=i_C=i, (1.28)

где i—ток контура;

Применяя к единственному контуру цепи закон напряжений Кирхгофа (ЗНК), имеем

u_L+u_R+u_C=u₀, (1.29)

Запишем уравнения элементов:

Для получения уравнений цепи, взяв за основу выражение (1.29),заменим в нем напряжения токами с помощью уравнений элементов, а токи элементов—общим контурным током сог­ласно (1.28).В результате получаем линейное интегро-дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно контурного тока:

Неизвестная переменная (контурный ток) входит под зна­ками производной и интеграла. Если продифференцировать уравнение (1.30),то получим эквивалентное линейное диффе­ренциальное уравнение второго порядка

Цепь из параллельно соединенных R-, L-, С-элементов

Запишем уравнения соединений цепи. Обходя контуры, образованные источником тока и каждым из элемен­тов, и применяя ЗНК, приходим к очевидному заключению о равенстве напряжений на всех элементах:

u_L=u_R=u_C=u_0,(1-31)

где и—напряжение между узлами.

Применяя ЗТК к единственному независимому узлу цепи (второй узел является зависимым—дает то же уравнение), получимi_L+i_R+i_C=i₀ (1.32)

Уравнения элементов имеют вид

Для того чтобы получить уравнения цепи, подставляем в (1.32)выражения токов элементов, а затем заменяем в них напряжения элементов через общее напряжение между узлами. В результате получим линейное интегро-дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно узло­вого напряжения:

(1.33)

Продифференцировав уравнение, можно получить эквива­лентное линейное дифференциальное уравнение второго по­рядка.

Уравнения (1.30), (1.33)одинаковы по структуре; так же как уравнения (1.28), (1.31)и (1.29), (1.32),они взаимно дуальны:

переходят друг в друга при замене параметров и переменных на дуальные. Отсюда следует вывод: последовательное и парал­лельное соединения являются дуальными.

В случае многоконтурных и многоузловых цепей получим системы плинейных дифференциальных уравнений спнеиз­вестными.

Из приведенного вывода уравнений (1.30)и (1.33)видно, что тольконаличие элементов, запасающих энергию,—индуктивностей и емкостей—приводит к дифференциальным уравнениям. В частном случае цепей, составленных из резистивных элемен­тов, получим системы линейных алгебраических уравнений.