§ 1.4. Индуктивный элемент

Индуктивным элементом электрической цепи назы­вают идеализированный элемент, в котором происходит только запасание магнитной энергии,связанное с протеканием тока; потери и запасание электрической энергии отсутствуют.

Условное графическое обозначение индуктивного элемента, основной количественной мерой которого является индуктив­ность (или коэффициент самоиндукции) L,показано на рис. 1.5,а. Индуктивностью называют также сам элемент.

В первом приближении этим устройством может служить высококачественная индуктивная катушка (рис. 1.5,6).Протекание токаiпо катушке всегда связано с магнитным потоком Ф, представляющим поток вектора магнитной индукции и выражаемым в веберах (Вб). Для наглядности картину распре­деления поля изображают в виде линий магнитного поля, являющихся замкнутыми кривыми, сцепленными с витками катушки. Число линий поля, сцепленных с отдельными витками, неодинаково. Поэтому вводят понятие потокосцепления, представляющего сумму всех потоков, сцепленных с отдель­ными витками катушки:

(1.9)

где N—общее число витков катушки.

Так как согласно закону полного тока напряженность магнитного поля пропорциональна току, то потокосцепление при отсутствии ферромагнитных тел также пропорционально току:

Li (1.10)

Индуктивность является коэффициентом пропорциональности между потокосцеплением и током и выражается отношением L=/i.В СИ индуктивность выражается в генри (Гн). Примем индуктивность постоянной величиной, не зависящей от тока и времени, что также является идеализацией и выполняется лишь приближенно.

Связь между током и напряжением в индуктивном элементе устанавливается на основе закона электромагнитной индукции: при изменении магнитного потока, сцепленного с контуром, в нем наводится электродвижущая сила, равная скорости изменения потокосцепления и направленная так, чтобы ток, вызванный ею, стремился воспрепятствовать изменению наводящего потока.Если ток, протекая в положительном направлении, нарастает так, что di/dt>0 и d/dt>0, то наведенная ЭДС должна иметь полярность (рис. 1.5,6),которая при отсутствии внешнего источника создавала бы ток, направлен­ный навстречу току i.

Указанной полярности соответствует положительное напряжение пассивного элемента, которым представляется индуктивность. Поэтому интересующая нас связь между током и напряжением элемента, согласно закону электромагнитной индукции, имеет вид

(1.11)

Напряжение на индуктивном элементе определяется скоростью изменения тока.При протекании через индуктивность постоянного тока поток не изменяется, напряжение равно нулю, что равносильно короткому замыканию вывода элемента.

Выражение (1.11)позволяет определить напряжение по заданному току. Если задано напряжение, то, проинтегрировав обе части выражения (1.11)в пределах от —до t,получим, что в любой момент времени ток в индуктивном элементе

Выбор нижнего предела t = —при интегрировании вызван необходимостью суммирования всех изменений напряжения, имевших место до момента времени t,т. е. необходимостью учета всей предыстории элемента. Значение тока при t=—следует принимать равным нулю. Выражение (1.12)можно переписать в виде

Здесь i(0)—начальный ток, т. е. значение тока вмомент времени t=0,которое учитывает всепроцессы в элементе до момента t=0.

Как видим, для определения тока достаточно знать значения напряжения при t>0 и тока при t=0;закон изменения напряжения до момента времени t=0не играет роли. Рассмот­рим пример. Пусть через индуктивный элемент протекает ток трапецеидальной формы (рис. 1.6,а); напряжение, пропорциональное первой производной, будет иметь форму прямоугольных импульсов (рис. 1.6,б)положительной полярности в интервалах нарастания тока и отрицательной—в интервалах убывания тока. При этом чем быстрее изменяются ток и потокосцепление, тем больше амплитуда импульсов напряже­ния. В интервалах, когда ток и, следовательно, потокосцепление неизменны, напряжение равно нулю.

Можно рассматривать обратный случай, когда к индуктив­ности приложено напряжение в виде прямоугольных импульсов, показанных на рис. 1.6,б,в соответствии с законом электромагнитной индукции ток, согласно (1.12),должен иметь трапецеидальную форму (рис. 1.6,а), которая при наличии начального тока будет смещена на величину этого тока.

Из соотношений (1.11), (1.13)можно установить очень важное условие непрерывности потокосцепления и тока в момент приложения напряжения (t=0)к индуктивному элементу:если амплитуда напряжения конечна, то потокосцепление должно быть непрерывным и не может изменяться скачком;

представив, согласно (1.13),потокосцепление в момент времени t=0+через начальное значе­ние в момент времени t=0—, имеем

Обозначив через L_(-), l₍₊₎ значение индуктивностей до и после переключений в цепи, это условие можно записать в виде

L_(-)i(0-)=L₍₊₎i(0+). (1.15)

Если в процессе коммутации индуктивность не изменяется (l_(-)=l₍₊₎), тоток являетсятакженепрерывной величиной ине может изменяться скачком: i(0—)=i(0+). Если же при коммутации происходит изменение индуктивности, то, согласно (1.15), ток не является непрерывной величиной. Приведенные условия непрерывности потокосцепления и тока используются далее при определении произвольных постоянных интегрирования.

Если в момент коммутации выполняется условие непрерыв­ности тока, то для этого момента (t=0)индуктивность, очевидно, можно заменять источником тока с током i(0). В случае i(0)=0 индуктивность для момента времени t=0 должна представляться в виде разрыва.

Рассмотрим энергетические характеристики индуктивного элемента. С учетом соотношения (1.11)мощность

(1.16)

При совпадении знаков тока и напряжения происходит запасание энергии и мощность положительна, при несовпадении знаков мощность отрицательна, что означает отдачу запасенной в элементе энергии.

Интегрирование выражения (1.16)в пределах от —, где ток следует полагать равным нулю, до t,где ток равен г, позволяет получить энергию, запасенную в индуктивности:

Энергия в индуктивности определяется значением тока в данный момент времени: она пропорциональна квадрату тока и поэтому не может принимать отрицательных значений.