2. Частотні характеристики

Опис лінійних систем у частотній області здійснюється за допомогою перетворення Фур’є, яке з математичної точки зору є окремим випадком перетворення Лапласа. Цей окремий випадок відповідає тому, що незалежна комплексна змінна s перетворення Лапласа формально заміняється на чисто уявну незалежну змінну перетворення Фур’є :

Після вказаної заміни вираз (3.10) переходить у наступне співвідношення

(3.13)

де W(jω) – амплітудно-фазова частотна характеристика (АФХ);

Z(jω) та Y(jω) – зображення виходу та входу елемента за Фур’є.

Формули знаходження зображень за оригіналами сигналів та обернені до них (пряме та обернене перетворення Фур’є) можна знайти, наприклад, в [5].

Як і передатна функція (3.10), амплітудно-фазова характеристика (3.13) дає вичерпний опис елементу. Якщо відома АФХ W(jω), то може бути знайдена реакція системи на довільний вхідний сигнал методом, який описаний у підпункті 3.3.2.2 для передатної функції. Різниця полягає тільки в тому, що заміст перетворення Лапласа використовується перетворення Фур’є.

Комплексна функція частоти W(jω) представлена у (3.13) в алгебраїчній формі через дійсну P(ω) та уявну Q(ω) частотні характеристики (ДЧХ та УЧХ), а також – в тригонометричній формі через амплітудну W(ω) та фазову (ω) частотні характеристики (АЧХ та ФЧХ). Чотири останніх є, на відміну від W(jω), дійсними функціями частоти. Взаємозв'язок між ними, встановлюється за допомогою відомих формул Ейлера:

,

; (3.14)

та , (3.15)

Формули (3.14) дозволяють знайти P(ω) і Q(ω) за відомими W(ω) і j(ω), тоді як формули (3.15) вирішують обернену задачу.

Р исунок 3.7 – Годограф амплітудо-фазової характеристики (АФХ)

Годограф комплексної функції частоти W(jω) з фіксацією поточного вектора W(jω₁), що відповідає деякій частоті ω₁, зображений на рисунку 3.7.

Частота змінюється вздовж годографу від початкової точки ω = 0 до кінцевої точки ω ® ¥ у напрямку, поміченому стрілкою. На графіку вказані також дійсна P(ω₁) та уявна Q(ω₁) складові вектору W(jω₁), а також його модуль W(ω₁) та фаза j(ω₁).

Наведені співвідношення показують, що опис елементу за допомогою єдиної функції АФХ можна замінити на опис з двома дійсними функціями ДЧХ та УЧХ або АЧХ та ФЧХ. З математичної точки зору ті заміни еквівалентні.

Існує клас мінімально-фазових систем (дивись п.3.3.2.2), для яких вичерпний опис дається лише однією дійсною характеристикою ДЧХ або УЧХ, АЧХ або ФЧХ. Це пояснюється тим, що для цього класу систем вказані пари дійсних характеристик жорстко зв‘язані між собою за допомогою інтегрального перетворення Гілберта.

Історично склалося так, що це питання досліджувалось вперше на початку ХХ сторіччя, коли перші частотні характеристики знімалися для електронних підсилювачів звукових частот. У ті часи найбільш доступним було вимірювання амплітуди гармонічних сигналів. Тому першими частотними характеристиками були АЧХ, які й сьогодні є найбільш поширеними. Типова частотна характеристика підсилювача наведена на рисунку 3.8.

Коефіцієнт підсилення зазвичай позначається буквою К, а не W. Тому відповідна заміна зроблена на рисунку.

Рисунок 3.8 – АЧХ підсилювача звукових сигналів

При експериментальному визначенні АЧХ на підсилювач подається гармонічна напруга U_вхsinωt з амплітудою U_вх та круговою частотою ω. У силу лінійності (мова йде про підсилювачі, які не мають значних нелінійних пошкоджень) на виході елементу буде діяти також гармонічна напруга частоти ω з амплітудою U_вих та початковою фазою _вих (остання при знятті АЧХ не вимірюється). Відношення амплітуд К = U_вих/ U_вх на всіх частотах вибраного діапазону і складає дані для побудови АЧХ.

Можна показати, що характеристика ідеального підсилювача, який не пошкоджує форму сигналу, а може здійснювати тільки зсув вихідного сигналу по відношенню до вхідного, має вигляд прямої, паралельної осі абсцис. Тобто коефіцієнт передачі ідеального підсилювача не залежить від частоти. Можна також показати, що таку ідеальну характеристику не можливо реалізувати фізично.

Оскільки реальна характеристика відрізняється від ідеальної, реальні лінійні підсилювачі вносять пошкодження при проходженні сигналу, які на відміну від нелінійних пошкоджень, називають частотними. Для оцінки цих пошкоджень вводять відповідний коефіцієнт:

,

де М_ω – коефіцієнт частотних пошкоджень на частоті ω;

K₀ – коефіцієнт підсилення в області середніх частот;

K_ω – коефіцієнт підсилення на частоті ω .

В області середніх частот коефіцієнт М_ω рівний одиниці. Він збільшується в напрямку як зменшення, так и збільшення частоти. Прийнято, вважати пошкодження ще невеликими, якщо коефіцієнт пошкоджень не перевищує , тобто при зменшенні коефіцієнта підсилення не більш, ніж до

рівню 1/ * К₀ = 0,707К₀ , де взятий з біологічних характеристик вуха людини.

Коефіцієнту пошкоджень М_ω = відповідають нижня та верхня граничні частоти ω_н та ω_в, які обмежують смугу пропускання підсилювача.

Якщо спектр вхідного сигналу лежить у смузі пропускання, форма сигналу на виході елементу пошкоджується дуже мало. Якщо спектр вхідного сигналу виходить за межі смуги пропускання, слід чекати суттєвих частотних пошкоджень.

Для широкосмугових елементів частотні характеристики, як правило, будують в логарифмічному масштабі частоти, що дозволяє представити дуже великий діапазон частот. У логарифмічному масштабі також відображається коефіцієнт зменшення амплітуди багатьох динамічних елементів.. При цьому використовується спеціальна логарифмічна одиниця Белл (названа на честь винахідника і бізнесмена – засновника Bell Telephone Company, яка визначила розвиток телефонії у USA).

1 Белл відповідає десятикратному збільшенню потужності сигналу. Якщо P₂ = 10P₁, то lg(P₂/P₁) = 1 Б.

АЧХ використовує відношення напруг. Оскільки потужність прямо пропорціональна квадрату напруги, відношення потужностей P₂/P₁ відповідає квадрату відношенню напруг U₂/U₁:

.

Таким чином, збільшення напруги в 10 разів відповідає збільшенню АЧХ на 2Б = 20 дБ. Зазвичай децибели зручніші для застосування.

Логарифмічні характеристики дозволяють побудувати наближені АЧХ простого вигляду, які називаються асимптотичними. Логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ) визначається як дБ. ЛАЧХ зазвичай має асимптоти. Ці асимптоти добре апроксимують реальні характеристики в області нижніх та верхніх частот. Продовження цих апроксимацій до пересічення в області середніх частот дає наближену асимптотичну частотну характеристику. Частота точки пересічення ω₀ називається зазвичай частотою спряження. Асимптотичні частотні характеристики декілька простих динамічних елементів, які в теорії автоматичного регулювання називаються елементарними ланками і часто зустрічаються при дослідженні автоматичних систем, подані на рисунку 3.9.

Кожній характеристиці відповідає передатна функція елементу, що розміщена у верхньому полі рисунка. Нахил характеристик до осі абсцис поданий у децибелах, що припадають на одну декаду частоти.

Декадою називається діапазон частот, де верхня частота в 10 раз перевищує нижню. Застосовні також октави. Октава – діапазон частот, в якому більша частота в 2 рази перевищує нижчу. Октава є основою частотного ладу музичних інструментів.

а) інерційна ланка 1-го порядку; б) інерційна ланка 2-го порядку;

в) інерційна диференцююча ланка; г) інерційна інтегруюча ланка

Рисунок 3.9 – ЛАЧХ окремих елементів

Частотні характеристики лінійних систем широко застосовні у теорії автоматичного управління для дослідження стійкості систем і якості процесу регулювання.