2. Динамічні характеристики елементів

Динамічні характеристики і параметри елементів автоматики є наслідком методу математичного опису, який застосовується при розрахунках та дослідженнях цих елементів. Найбільш поширення отримали наступні методи математичного опису:

а) опис у часовий області за допомогою диференційних рівнянь (відповідно часові імпульсна та перехідна характеристики);

б) опис у комплексній області за допомогою передатних функцій (відповідно параметри передатної функції);

в) опис у частотній області (відповідно частотні характеристики).

Один із згаданих методів обирають у залежності від конкретних умов розрахункового завдання, але всі методи застосовні однаково часто. Тому далі будуть подані всі три види динамічних характеристики.

Всі розглянуті нижче характеристики є вичерпними у тому розумінні, що, будучи відомими, вони дозволяють однозначно визначити реакцію елемента на будь-яке задане вхідне діяння.

1. Часові характеристики

1. Функції Дірака та Хевісайда

Розглянемо спочатку тестові функції, що застосовні для отримання імпульсної та перехідної характеристик. До таких відносяться функції Дірака та Хевісайда.

Одиничним імпульсом Дірака називається функція, яка виконує наступне співвідношення:

, (3.2)

де x(t) - будь-яка інтегруєма функція;

- дельта-функція в фіксований момент часу .

Означення (3.2) можна трактувати як фільтруючу дію дельта-імпульсу, оскільки його застосування під цім інтегралом разом с деякої функцією x(t) дозволяє отримати значення цієї функції у момент t₀. Ця властивість широко використовується в теорії при необхідності квантування аналогових сигналів.

Наведене означення відноситься до типу «що воно виконує», а не до звичайного типу «чим воно є». Так завжди визначаються некласичні функції , які отримали назву узагальнених функцій, або розподілів. П. Дірак і О. Хевісайд популяризували використання узагальнених функцій задовго до того, як вони увійшли у математику. П. Дірак увів сучасне позначення імпульсної функції δ(t). Наприклад, він писав:

«У всіх тих випадках, коли з’являється некласична функція, вона буде представляти собою щось таке, що у кінцевому рахунку буде використовуватися в підінтегральному виразі. Таким чином, використання некласичних функцій не пов'язано з якими-небудь порушеннями строгої теорії. а є лише способом, що дозволяє в стислій формі висловлювати певні співвідношення, які в разі потреби ми можемо переписати у формі, яка не містить некласичних функцій, проте відрізняється надмірною громіздкістю, що веде до втрати ясності проводяться викладок».

Легко пояснити, чим дельта-функція є. Дійсно, якщо припустити, що δ(t-t₀) має нескінченно малу тривалість в околі t₀, то x(t₀) може бути винесена за знак інтегралу як постійна:

. (3.3)

Якщо до того ж покласти ще = 1, тобто площа дельта-функції дорівнює 1, то з (3.3) слідує правильність (3.2). Безумовно, площа може бути рівної 1 тільки тоді, коли δ-імпульс маж нескінчену амплітуду. Таким чином, з (3.3) випливає, що δ-функція представляє собою нескінченно короткий та нескінченно довгий імпульс, площа якого дорівнює одиниці.

Одиничною функцією Хевісайда 1(t) називають інтеграл від одиничного імпульсу Дірака. Ії диференціювання дає δ(t-t₀). Таким чином:

, = δ(t-t₀) , (3.4)

тобто вказані дві функції зв’язані співвідношеннями інтегрування та диференціювання.

а ) дельта-імпульс Дірака; б) одинична функція Хевісайда

Рисунок 3.4 – Тестові функції

Обидві тестові характеристики подані на рисунку 3.4.

2. Імпульсна та перехідна характеристики

Найбільш поширеними при опису в області часу є імпульсна та перехідна характеристики елементу.

Реакція елемента на вхідну дію у вигляді одиничного імпульсу Дірака при нульових початкових умовах називається імпульсною характеристикою елемента (t).

Реакція елемента на вхідну дію у вигляді одиничної функції Хевісайда при нульових початкових умовах називається перехідною характеристикою елемента h(t).

Можна показати, що вказані характеристики зв’язані співвідношеннями інтегрування та диференціювання виду (3.4), тобто:

.

Т ипові імпульсна та перехідна характеристики лінійного елементу приведені на рисунку 3.5.

а) б)

а) імпульсна характеристика; б) перехідна характеристика

Рисунок 3.5 – Типові динамічні характеристики

Відмітимо, що у теорії більше використовується імпульсна характеристика, яка ефективно спрощує математичні викладки. Експериментально найчастіше застосовується перехідна характеристика завдяки простоті фізичної реалізації функцій, найбільш близьких до неї.

Обидві характеристики дозволяють ввести ряд параметрів, що мають ясний фізичний зміст для систем управління [5], таких як час перехідного процесу, його коливальність, перерегулювання тощо.

Як та, так і інша характеристики, що обговорюються, є вичерпними. Якщо відома імпульсна характеристика елементу (t), то його реакція z(t) на будь-яке вхідне діяння y(t) задається інтегралом згортки

z(t) = = . (3.5)

Якщо ж відома перехідна характеристика, то відповідна реакція визначається одним з різновидів згортки, так званим інтегралом Дюамеля

z(t) = y(0)h(t) + = y(0)h(t) + =

= h(0)y(t) + = h(0)y(t) + , (3.6)

де штрих означає відповідну похідну.

З виразів (3.5) та (3.6.) видно, що інтеграл згортки має дві форми, а інтеграл Дюамеля – чотири. Всі ті форми еквівалентні, тому при дослідженнях можна вибирати ту з них, яка дає спрощення розрахунків.