3. Характеристики та параметри елементів автоматики

3.1 Основний підхід до математичного опису нелінійних динамічних систем

Оточуючій нас світ є нелінійним. Це означає, що всі його елементи та процеси у них описуються нелінійними диференційними рівняннями, тобто такими, які не підпадають під визначення лінійних. Важлива особливість нелінійних диференційних рівнянь полягає в тому, що для них не є справедливим принцип суперпозиції, на якому оснований універсальний метод розв’язку лінійних диференційних рівнянь, запропонований ще Л. Ейлером.

На відміну від лінійних нелінійні диференційні рівняння не мають спільного методу розв’язку – рішення майже кожного нелінійного диференційного рівняння є самостійним глибоким дослідженням. Не випадково деякі простіші нелінійні диференційні рівняння 1-го порядку носять назви імен математиків, які вперше їх розв’язали – рівняння Бернуллі, рівняння Лагранжа, рівняння Ріккаті тощо. Тому математичний опис більшості практичних задач проводять, якщо це можливо, за допомогою лінійних диференційних рівнянь, фіксуючи помилки, обумовлені відхиленням об’єкту від лінійності. Але у деяких випадках лінеаризація приводить до втрати основних, вкрай важливих властивостей об’єкту і за тою причиною є неприйнятною. Тоді виникає необхідність надання об’єкту нелінійних властивостей з одночасним урахуванням його інерційності.

Рисунок 3.1 – Наближене представлення нелінійного елементу

Загальноприйняте наближене представлення нелінійного елементу автоматики НЕА послідовним з’єднанням лінійної частин ЛЧ та нелінійної частини НЧ ( дивись, наприклад [5]), ілюструється рисунком 3.1. Нелінійна частина вважається безінерційною , тоді як лінійна частина враховує інерційність елементу, але позбавлена нелінійних властивостей. При цьому НЧ описується нелінійною статичною характеристикою, що не містить часу, а НЧ – лінійним диференційним рівнянням. Якщо подібна заміна проведена вірно, вхідна x(t) та вихідна z(t) величини залишаються попередніми і виникає нова величина y(t) – вихід нелінійного елементу.

Подане загальне представлення елементів автоматики спрощує підхід до визначення їх характеристик. Дійсно, статичні характеристики НЕА можуть бути представлені функцією y = f(x), яка помножена на статичний коефіцієнт підсилення лінійної частини (множення просто враховується шляхом зміни масштабу графіка). Функція y = f(x) завжди є нелінійною. У випадку лінійної системи НЧ відсутня, а статична характеристика визначається як окремий розв’язок статичного рівняння, яке можна отримати з диференційного рівняння елементу після закінчення перехідного процесу. Динамічні же характеристики НЕА завжди визначаються лише її лінійною частиною.

2. Статичні характеристики елементів автоматики

Розглянемо спочатку характеристики нелінійних елементів. Статичні характеристики нелінійних елементів автоматики є дуже різноманітними.

Рисунок 3.2 – Характеристики нелінійних елементів

Але існує деяка невеличка кількість базових характеристик, сполучення яких дозволяє отримати інші. Базові та декілька похідних характеристик, що зустрічаються найбільш часто, подані на рисунку 3.2.

До базових ознак статичних характеристик слід віднести: нечутливість (а), обмеження (б), характеристику типу реле (в), а також гістерезис (наявність неоднозначності типу петлі). Окремий випадок характеристики (б) з обмеженням тільки знизу на рівні осі абсцис дає характеристику (г), властиву амплітудним детекторам. Сума двох останніх, що симетричні відносно осі ординат, дає характеристику (д) типу модуль. Поєднання характеристики типу (в) з гістерезисом приводить до характеристики реле з гістерезисом (е), а характеристики типу (б) з гістерезисом – характеристику типу (ж). Нарешті, поєднання реле, нечутливості та гістерезису приводить до характеристики типу (з). Можна уявити собі і інші сполучення.

Відмітимо, що статичні характеристики нелінійних елементів безпосереднє використовуються, наприклад, для наближеного розрахунку амплітуди та частоти коливань у методі гармонічної лінеаризації, який запропонований Л.С. Гольдфарбом.

Статичні характеристики лінійних елементів автоматики, як вже згадувалося, отримуються з диференційного рівняння елементу. Запишемо загальний вигляд лінійного диференційного рівняння:

, (3.1)

де а_i, b_j – коефіцієнти, n, m – числа, що характеризують порядок рівняння, причому m < n, що складає умову фізичної реалізації відповідної системи.

Після затухання перехідних процесів змінні y та z будуть постійними, в результаті всі похідні від цих величин будуть рівні нулю, і рівняння (3.1) вироджується у наступне:

a_nz = b_my, z = Ky, K = b_m/a_n . (3.2)

Тут К – статичний коефіцієнт підсилення системи.

Рівняння (3.2) описують ідеальну пряму, надану на рисунку 3.3.

Реальна характеристики дещо відрізняється від ідеальної. Ступінь їх відхилення можна оцінити за допомогою коефіцієнта нелінійності:

γ = Δ/x_m*100%,

де Δ – найбільше відхилення від лінійності, y_m – верхнє значення діапазону.

Р исунок 3.3 – Статична характеристика лінійного елементу

Важливими є і відхилення від лінійності і іншого типу. Наприклад, доцільно вказувати зони відсутності обмежень сигналу або зони нечутливості, умови відсутності гістерезису тощо.