2.2. Описание результатов

При решении данного дифференциального уравнения второго порядка с заданными краевыми условиями (1.3) методом сведения к задаче Коши и последующим её решением методом Рунге-Кутта, были получены следующие результаты, представленные в таблице 1. В столбце Х приведено разбиение отрезка [1.3; 1.8] с шагом h = 0.02, в столбце Y(X) – значение функции (n=1,…,26) в соответствующих точках , в столбце E – значения найденных абсолютных погрешностей.

В результате работы программы, листинг которой приведен в приложении 1, точность была достигнута при шаге 0.01, максимальная погрешность равна как видно из таблицы 1 при n=9.

Точность решений определялась из условия, что норма модуля разности более точного решения и приближенного должна быть меньше заданной точности. Для достижения заданной точности E = шаг h = 0.02 уменьшили в 2 раза, так как при шаге h = 0.02 полученная точность не удовлетворяла заданной.

Легко заметить, что полученная максимальная погрешность меньше заданной точности, следовательно, проверка точности выполнена и полученная точность удовлетворяет заданной.

Таблица 1

X Y(X) E

1) 1.30 2.200000 0.00e+000

2) 1.32 2.029192 4.53e-010

3) 1.34 1.859824 8.27e-010

4) 1.36 1.692046 1.13e-009

5) 1.38 1.525999 1.36e-009

6) 1.40 1.361814 1.53e-009

7) 1.42 1.199613 1.65e-009

8) 1.44 1.039511 1.72e-009

9) 1.46 0.881613 1.75e-009

10) 1.48 0.726016 1.74e-009

11) 1.50 0.572810 1.70e-009

12) 1.52 0.422075 1.63e-009

13) 1.54 0.273886 1.54e-009

14) 1.56 0.128307 1.42e-009

15) 1.58 -0.014601 1.30e-009

16) 1.60 -0.154787 1.17e-009

17) 1.62 -0.292205 1.03e-009

18) 1.64 -0.426817 8.85e-010

19) 1.66 -0.558591 7.44e-010

20) 1.68 -0.687500 6.07e-010

21) 1.70 -0.813522 4.77e-010

22) 1.72 -0.936644 3.55e-010

23) 1.74 -1.056855 2.45e-010

24) 1.76 -1.174151 1.48e-010

25) 1.78 -1.288531 6.56e-011

26) 1.80 -1.400000 4.44e-016

3. Метод конечных разностей

3.1. Описание метода

Решим дифференциальное уравнение (1.1) с краевыми условиями (1.2) методом конечных разностей. Для того чтобы получить систему конечно-разностных уравнений, разобьем отрезок [a,b] на n равных частей длины как показано на рисунке 1. Точки разбиения имеют абсциссы:

(i=0,1,2,…,n), .

Рис. 1

Значения в точках искомой функции y=y(x) и ее производных обозначим соответственно:

Введем также обозначения: .

Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями для внутренних точек отрезка [a, b] будем иметь:

(i=1,2,…,n-1) (3.1)

где - погрешность формулы порядка .

Подставим конечно-разностные выражения (3.1) в исходное дифференциальное уравнение (1.1). В результате подстановки получим:

(3.2)

Или запишем выражение (3.2) в виде:

, (i=1,2,...,n-1), (3.3)

где

Так как всего n+1 неизвестных на отрезке [a, b], а уравнений n-1, то не хватает еще двух уравнений для нахождения всех (i=0,1,…,n). Эти недостающие уравнения дают краевые условия (1.2). По условию курсовой работы , , поэтому система (1.2) принимает вид:

С учетом этого запишем систему линейных алгебраических уравнений:

, где (i=1,2,...,n-1) (3.4)

Таким образом, получена линейная система (3.4) из n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции y=y(x) в точках .

Систему уравнений (3.4) можно записать в матричном виде, при этом получается трехдиагональная матрица коэффициентов:

1 0 0 0 0 ..…………. 0 0 0 0 A

1 0 0 ………….....0 0 0 0

0 1 0………….....0 0 0 0 ……. …….

………………………….……....……... …….. = …….. (3.5)

………………………….……….....….. …….. …….

…………………………....... 1 …….

…………………………….…...... _{0 1} B

Вычислить решение системы можно методом алгебраической прогонки. Метод прогонки состоит из двух частей: прямой и обратный ход.

Приведем матрицу (3.5) к двухдиагональному виду. Предположим, что из (3.4) исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид:

(3.7)

где (i=1,2,...,n-1) некоторые коэффициенты.

В прямом ходе метода прогонки определяются коэффициенты зная Найдем эти коэффициенты, для этого запишем

Подставим это выражение в (3.4) и, выразив , будем иметь:

(3.8)

Сравнивая формулы (3.7) и (3.8), получим рекуррентные формулы для определения и :

(i=1,2,...,n-1) (3.9)

Определим теперь и . Из (3.7) при i=0 получим:

(3.10)

Сравнивая (3.10) и первое краевое условие из (1.2), находим:

При обратном ходе, используя формулу (3.7) и условие , последовательно находим

Точность в методе конечных разностей достигается аналогичным способом, приведенным в методе сведения краевой задачи к задаче Коши, так как полученная точность зависит от шага разбиения отрезка [a, b].