МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет «Стрела»

Курсовая работа по вычислительной математике

Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Вариант №57

Выполнил:

студент гр. С-202 Забродин А. В.

Проверил:

Преподаватель Флаксман Я. С.

Оценка:_________

Дата: «__»_____________ Подпись: _______

г. Жуковский

2010

Содержание:

1. Постановка задачи...................................................................................................................3

2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши:

2.1. Описание метода..............................................................................................................4

2.2. Описание результатов………………………………………….....................................7

3. Метод конечных разностей:

3.1. Описание метода …………………………………………………………….............…8

3.2. Описание результатов...................................................................................................11

4. Метод Галёркина:

4.1. Описание метода ………………………………….…………………………………..12

4.2. Описание результатов...................................................................................................15

5. Выводы..………………..…………………………………………………………………...16

Приложение 1. Листинг программы «Метод сведения краевой задачи к задаче Коши»……..17

Приложение 2. Листинг программы «Метод конечных разностей»…………………………...19

Приложение 3. Листинг программы «Метод Галёркина»………………………………………21

1. Постановка задачи

Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

(1.1)

с краевыми условиями:

(1.2)

где функции P(x), Q(x), F(x) непрерывны, и - заданные постоянные, причем: и .

Требуется найти решение y(x) уравнения (1.1), удовлетворяющее краевым условиям (1.2).

В данном варианте курсовой работы необходимо:

Решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью Е=1.е-5. Проверить достигнутую точность. Результаты представить с шагом h=0.02. Решение провести тремя следующими методами:

1. Сведением краевой задачи к задаче Коши.

2. Методом конечных разностей.

3. Методом Галёркина.

(1.3)

Из условий следует, что функции P(x) = 0.9x; Q(x) =2.3/x ; F(x) =1.8/(x*x)-4 и постоянные

₁ = 1, ₂ = 0, ₁ = 1, ₂ = 0, a =1.3, b =1.8, A = 2.2, B = -1.4.

2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши

2.1. Описание метода

Решение дифференциального уравнения (1.1) с краевыми условиями (1.2) будем искать в виде линейной комбинации:

где c=const (2.1)

Подставим y(x) в виде (2.1) в исходное дифференциальное уравнение (1.1) и сгруппируем слагаемые при постоянной с, получим выражение:

(2.2)

Потребуем, чтобы равенство (2.2) выполнялось при любом с, для этого необходимо, чтобы коэффициенты при постоянной с обращались в ноль, получим систему уравнений:

(2.3)

Из системы дифференциальных уравнений (2.3) видно, что функция u=u(x) - ненулевое решение соответствующего однородного уравнения, а v=v(x) - некоторое решение данного неоднородного уравнения (1.1).

Чтобы свести краевую задачу (1.1)-(1.2) к задачам Коши для функций u=u(x) и v=v(x), подставим в первое краевое условие (1.2) выражение для функции y(x) и сгруппируем слагаемые при постоянной c, будем иметь:

(2.4)

Для того чтобы равенство (2.4) было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при постоянной с обращались в ноль, т. е. должны быть выполнены равенства:

(2.5)

Получили систему (2.5) из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Решений системы будет бесконечное множество. Найдем хотя бы одно.

Для обеспечения первого равенства системы, например, можно подобрать:

(2.6)

где постоянная k отлична от нуля, так как тривиальное решение u(a)=0 можно отбросить.

Для выполнения второго равенства системы (2.5) можно положить

(2.7)

или

при (2.8)

По условию курсовой работы ₁ = 1, ₂ = 0, A = -2 будем иметь:

(2.9)

(2.10)

Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши (2.9) для однородного уравнения (2.3), удовлетворяющее начальным условиям (2.6), а v есть решение задачи Коши (2.10) для неоднородного уравнения (2.3), удовлетворяющее начальным условиям (2.7) или (2.8). При этом для любого с функция y = cu + v удовлетворяет краевому условию на конце x=a.

Подберем теперь постоянную c так, чтобы функция y(x) удовлетворяла краевому условию (1.2) на конце x=b. Это дает:

откуда:

,

при этом предполагается, что знаменатель

Так как по условию работы ₁ = 1, ₂ = 0, то коэффициент c будет иметь вид:

Для решения полученных уравнений из системы (2.3) будем использовать метод Рунге-Кутта, который имеет достаточно высокую точность на всем интервале порядка

Рассмотрим второе дифференциальное уравнение из системы (2.3) с начальным условием (2.7). Дифференциальные уравнения системы (2.3) являются однотипными, поэтому решение первого уравнения системы (2.3) с начальным условием (2.6) осуществляется аналогичным способом, при условии .

Для того чтобы решить указанное дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутта, сделаем замену:

и подставим ее во второе дифференциальное уравнение из системы (2.3), получим:

,

Расчет производим следующим образом: выберем шаг h, приращение x в зависимости от шага будет:

где n=0,1…k-1

Соответствующие значения и искомых функций v и z определяются формулами:

где:

Чтобы достичь заданную точность вычисляем y(x) двумя способами: один раз с шагом h, другой раз с шагом h/2, получая при этом значения более точные. Если расхождение полученных значений не превышает заданной точности Е = , то выбранный шаг h можно считать достаточным и полученная функция y(x) удовлетворяет заданной точности. Иначе уменьшаем шаг h, пока не будет достигнута заданная точность.