33. Таблицы истинности операций логики высказываний.

1. Отрицание:

А = «На улице идет дождь», = «На улице не идет дождь»

А
1 0	0 1

2. Дизъюнкция:

дизъюнкция Ā U В = «на улице не идет дождь или/и над головой раскрыт зонт»

P	Q	P V Q
0 1 0 1	0 0 1 1	0 1 1 1

3. Конъюнкция:

конъюнкция А ∩ В = «На улице идет дождь и над головой раскрыт зонт»

А	В	А ∩ В
0 1 0 1	0 0 1 1	0 0 0 1

4. Импликация:

импликация А → В «Если на улице идет дождь, то над головой раскрыт зонт »

5. Эквивалентность:

« А эквивалентно В »

P	Q	P ~Q
0 1 0 1	0 0 1 1	1 0 0 1

34. Различия логики Буля и логики высказываний.

В булевской логике все доказательства строятся на отношении эквивалентности. Даже если в некоторых множественных выражениях есть отношение ( )-включения, что является частным случаем отношения порядка, то оно все-равно приводится в тождество.

2-е логические функции в логике Буля считаются эквивалентными, если они на одинаковых полных наборов 0 и 1, для соответствующих аргументов дают абсолютно одинаковые значение 0 и 1 для двух сравниваемых функций.

Все звенья доказательств в логике Буля связывают со знаком равенства. Отношение эквивалентности удовлетворяет 3 законам, которые используются в логике высказываний.

1) рефлективности А=А

2) симметричности: если А=В, то В=А

3) транзитивности: если А=В и В=С, то А=С

В логике высказываний все доказательства строятся на отношении порядка, т.е. на отношении которые, существуют между причиной и следствием.

Отдельные звенья доказательств связываются не знаком “=”, а знаком импликации, при этом символ импликации “→” заменяется в доказательстве логики высказываний на “=>”

В логике высказываний следует различать:

1) объектные высказывания

2) субъектные высказывания

если пренебречь этим различием, то можно попасть в противоречия, которые называются логическим парадоксом.

35. Метаязык логики высказываний и переход от импликативной формы к высказываниям на метаязыке.

Язык логики высказываний называют объектным, a метаязык исследователя –субъектным. В соответствии с этим различают символы, применяемые в высказываниях: ~-объектный символ эквивалентности

=- субъектный символ эквивалентности

Λ- объектный символ конъюнкции

,- субъектный символ конъюнкции

V- объектный символ дизъюнкции

;- субъектный символ дизъюнкции

- объектный символ импликации

- субъектный символ импликации

Тогда утверждение, которое надо доказать в логике высказываний, оформляется в виде причинно-следственных отношения

P1,P2,…P(N-1),PN=>C (1.1)

Pi, i=1,N-посылки

С- заключение или следствие

Словами это выражается: если посылки P1,…,PN – истинны, то заключение Р также истинно.

Предложение 1.1 называется клаузой – метапредложение, в котором используется отношение порядка, оформленное с помощью символа метаимпликации (=>) также как и отношение эквивалентности, отношение порядка удовлетворяет трем условиям: 1.Закон рефлексивности А=>А; 2. Закон симметричности: если А=>В то В=>А; 3. Закон транзитивности: если А=>В и В=>С то А=>С(если

А=>В и А=>В то А=В).Клауза это формальная запись доказываемого предложения. Если вместо букв в него подставить объектные высказывания, то клауза наполняется конкретным содержанием, которое называется семантикое(легендой).

Пример клаузы: А→В, А=> В

А-«сверкнула молния», В-«грянул гром»

В-«грянул гром» - тогда данная клауза отображает следующую легенду. Известно, что если сверкнула молния, то после этого грянет гром. Молния сверкнула => грянул гром. Над субъектом , который формулирует предложение может находиться другой субъект, для которого предложение 1 будет являться объектом

(P1ΛP2Λ…ΛPn-1ΛPn)→C

P1vP2v…vPn-1vPnvC

Отсюда находим, что (P1ΛP2Λ…ΛPn-1) →(PnvC), клауза 2.1 может быть представлена в др. эквивалентной форме P1,P2,…,Pn-1=>Pn;C (2.2)

P1,P2,P3,P4=>C1;C2;C3; можно преобразовать к виду Р4,С2,Р1,С1=> Р3;C3;P2 (2.3) => через метод компликации клаузы типа 2.1 назыв. Хорновской используют в ПРОЛОГе – языке программирования .

Пусть дано выражение в импликативной форме AvB→C на мета языке: A,B;C

A	B	C	1	2	A	B	1	2
0	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1	1	1
1	0	1	1	1	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1	0	0	1
1	1	1	1	1	0	0	0	1

Λ= “,”

V= “;”