31. Способы доказательства логических выражений с использованием специальных приемов.
Способ доказательства с использованием раскрытия Булевых операций их из определения и некоторых законов логики Буля.
1 пример. Доказать тождество
(a∩b∩c)→(a U b U c)=(a→b) U (b→c) U (c→a)
Доказательство:
(a∩b∩c)→(a
U
b
U
c)=по
определению операции импликации =
=
по закону де Моргана =
=
по определению импликации =
;
Доказательство:
Доказательство специального характера
Доказать,
что
если
Доказательство:
Доказательство и использованием “Умножения” слева и справа. На дополнительную импликанту.
Доказать закон де Моргана
умножим слева на (a U b):
умножим справа (a U b):
32. Логика высказываний и операции логики высказываний.
Высказывание – грамматически правильное предложение, про которое можно сказать истинно оно или ложно. ПРИМЕР : «Киев – столица Украины» (И) – истинна «Томск – столица Японии» (Λ) ложь
Пусть имеем два след. Высказывания: А = «на улице идет дождь» В = «над головой раскрыт. зонт»
С помощью логических связок можно образовать более сложное высказывание
-
отрицание
Ā = «на улице не
идет дождь»; - дизъюнкция
Ā
U
В = «на улице не идет дождь или/и
над головой раскрыт зонт»; - конъюнкция
= «На улице идет дождь и
над головой не раскрыт зонт»; - импликация
А → В «Если
на улице идет дождь, то
над головой раскрыт зонт»; - эквивалентность
В ~ А = «Над головой раскрыт зонт, тогда
и
только
тогда,
когда
идет дождь»
Другие логические связи в логике
высказываний не используются.
РАССМОТРИМ ПОДРОБНО:
1. ОТРИЦАНИЕ Ā. Высказывание А по другому можно прочитать так: « истинно то, что на улице идет дождь » Если А = 0, то это означает, что на улице нет дождя. Дополнение к А : Ā также отрицательно на истинное высказывание: «истинно то, что на улице не идет дождь» Тогда: Ā = 1 (отсутствие дождя)( А = 0 )
2. ДИЗЪЮНКЦИЯ В общем случае подразумевают так же конъюнкцию двух высказываний. Т. е. обознач. « или » однако часто возникает необходимость обязать высказывание только союзом «или»
ПРИМЕР:
Р=«Петр находится в бассейне» Q=«Петр
находится в театре»PVQ=«Петр
находится в бассейне или в театре ».
Если необходимо точно показать где
находится Петр, то нужно записать, (P
V
Q)Λ(
)
= (P
V
Q)Λ(
).
C
точки зрения логики Буля эта операция
соответствует ассиметричной разности
P
+ Q
, + - не используется => необходимо
применить запись показанную выше.
P |
Q |
P V Q |
|
||||
0 1 0 1 |
0 0 1 1 |
0 1 1 1 |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
1 0 1 0 |
1 1 0 0 |
1 1 1 0 |
=
« На улице идет дождь, а над головой не
раскрыт зонт » Может возникнуть такая
семантическая ситуация, тогда союз «И»
не
выполнят роль конъюнкции. ПРИМЕР: С =
«Ему стало грустно и он прибил таракана
тапочком», D=«он
прибил таракана тапочком и ему стало
грустно » В этих двух предложениях
конъюкция неочевидна. Различие двух
высказываний очевидно и мы имеем дело
со скрытой импликацией,т.е.следствие(одно
простое выражение обуславливает
уравнение)
4.ИМПЛИКАЦИЯ. Высказывания типа «если А,то В» имеют объясняющий характер(причина-следствие). Т. е. что имеет место событие В, потому, что произошло событие А.
Грамматически импликация может быть оформлена:«А является достаточным основанием для В»; «В потому,что А»;«В при условии выполнения А» и т.п. ~ причинно – следствие отношения можно записывать в виде таблицы истинности.
А |
В |
А → В |
Результат |
0 1 0 1 |
0 0 1 1 |
1 0 1 1 |
Останешься сухим Будешь мокрым Останешься сухим Останешься сухим |
Даная таблица является таблицей истинности для импликации, как в логике Буля, так и в логике высказывания.
5.ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. Может интерпретироваться высказываниями
«А эквивалентно В»,а также «А равно В»,«А тождественно В»,«А равносильно В»,«А тогда и только тогда В»и т.п. Экв-ность выражается через конъюнкцию двух импликацийA~В=(А→В)Λ(В→А), такое отношение часто возникает при одновременном высказывании 2-х условий «из А следует В» и «из В следует А».=>при эквивалентности нельзя одному событию принимать только роль причину, а другому только следствие и наоборот. ПРИМЕР: R=«нарастание анархии в обществе», S=«падение авторитета власти».Это события являются разнопорядковыми, т.к. R происходит из-за S и наоборот S происходит из-за R, R и S образую здесь логический круг кот-ый называется СИЛЬНОСВЯЗАННЫМ и выражают следующими множествами R~S=(RΛS)~(RVS ) или l=(RVS)→(RΛS). Понятие сильной связанности совпадают с понятием экви-ти если речь идет о двух событиях.
А |
В |
А ~ В |
А → В |
B → A |
()V() |
0 1 0 1 |
0 0 1 1 |
1 0 0 1 |
1 0 1 1
|
1 1 0 1 |
1 0 0 1 |