14.1.2.Приведение системы параллельных сил

Рис. 76

Случай 1. Приведение к равнодействующей

Дана система параллельных сил ориентированных в разные стороны (см. рис. 76). Допустим. даны четыре параллельные силы . Из них силы к равнодействующей , . Также приведем к равнодействующей другие две силы

, где . Обе равнодействующие параллельны и ориентированы в одну сторону. Приведем их к результирующей, она равна по величине

место её приложение обратно пропорционально составляющим и , где они могут быть равны и не равны между собой по модулю (см. случай 1, с. 114).

Случай 2. Приведение к паре сил

Рис. 77

Дана система параллельных сил ориентированных в разные стороны (см. рис. 77). Допустим. даны четыре параллельные силы . Из них силы к равнодействующей , где

. Также приведем к равнодействующей другие две силы , где . Обе равнодействующие параллельны и ориентированы в разные стороны, причем, они равны по модулю и не лежат на одной прямой. Данная система сил

приводится к паре сил, момент пары сил равен

.

Отсюда, данная система параллельных приводится к паре сил.

Случай 3. Приведение к равнодействующей силе

Рис. 78

Дана система параллельных сил ориентированных в разные стороны (см. рис. 78). Допустим. даны четыре параллельные силы . Из них силы к равнодействующей , . Также приведем к равнодействующей другие две силы , . Обе равнодействующие параллельны и ориентированы в разные стороны, причем, они не равны по модулю и не лежат на одной прямой. Данная система сил приводится к равнодействующей (cм. случай 2, с. 115),

Случай 4. Приведение к уравновешенной системе

Дана система параллельных сил ориентированных в разные стороны (см. рис. 79). Допустим. даны четыре параллельные силы . Из них силы к равнодействующей , . Также приведем к равнодействующей другие две силы , . Обе равнодействующие параллельны и ориентированы в разные стороны, причем, они не равны по модулю и лежат на одной прямой. Данная система сил приводится к уравновешенной системе сил .

Рис. 79

Вывод.

1. Система параллельных сил приводится к равнодействующей , где k=1, 2, ….,n.

2. Система параллельных сил приводится к паре сил с моментом .

3. Система параллельных сил приводится к системе уравновешенных сил

14.2 Центр тяжести твердого тела

Рассмотрим случай, когда параллельные силы приводятся к равнодействующей. Считаем, что векторы сил ориентированы в одну сторону, они являются силами тяжестей каждой точки тела. Найдем положение радиус-вектора результирующей силы – силы тяжести тела (см. рис. 80).

Рис. 80

Тело состоит из множества точек, где .

Положение к-ой точки определяется радиус-вектором .

Каждая точка имеет вес или силу тяжести . Все силы тяжести точек тела параллельны и направлены строго вертикально вниз. Равнодействующая сил тяжестей составляет силу тяжести тела , её линия действия проходит через точку С. Положение точки С определяет радиус-вектор . На основании теоремы Вариньона о моменте равнодействующей относительно любого центра приравняем момент равнодействующей относительно центра О геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этого центра:

или

Введем единичный вектор . Параллельный линиям действий сил. Тогда получим

,

Подставим полученные значения в выражения моментов

Переместим скалярные множители в векторных произведениях:

Вектор по модулю не равен нулю, является ускорением свободного падения и . Тогда получаем

Откуда выразим

(1)

Запишем радиус-вектор центра тяжести

.

Получим формулы для вычисления координат центра тяжести тела

, , . (2)

У однородного тела плотность одинакова, т.е. тело выполнено из одного материала. Тело может быть объемным, где , плоским, где F - его площадь, и иметь один размер – длину, где L - его длина.

Выразим силу тяжести плотность:

для объемного тела ; плоского тела ; тела, имеющего один размер, . Тогда формулы для определения координат центра тяжести тела имеют вид: для объемного тела

; (3)

для плоского тела

, ; (4)

для тела, имеющего один размер,

, , . (5)

Координаты центра тяжести тела на плоскости могут быть выражены через статические моменты относительно осей х и у:

(6)

В этом случае формулы (4) примут вид

, . (7)

Применение (7) используется в сопротивлении материалов.