45. Определите понятия низкочастотного и высокочастотного фильтров разложения и восстановления сигнала с применением вейвлет - преобразований сигналов. Определите суть и назначение алгоритма Малла.

Каждый ортогональный вейвлет, как временная функция, вполне очевидно, имеет свою спектральную функцию . Было показано в литературе, что если , то вейвлет можно представить в виде реализации двух фильтров – низкочастотного, с комплексным коэффициентом передачи , и согласованного с ним высокочастотного . В соответствии с этим область действия вейвлетов может быть разбита на две составляющие — низкочастотную и высокочастотную. Граничную частоту этих фильтров удобно взять равной половине общей полосы спектра сигнала. Пропуская сигнал через оба фильтра одновременно можно всегда разложить сигнал на низкочастотную и высокочастотную составляющие.

Поскольку фильтры передают только половину всех частотных компонент сигнала, то не попавшие в полосу прозрачности компоненты могут быть безболезненно удалены. Эта операция получила название «децимация». Используется децимация вдвое, которая обозначается как ↓2, и означает удаление половины отсчетов. При этом, если просто сложить полученные на выходах фильтров сигналы, то получится исходный сигнал, т. е. будет иметь место полная реконструкция сигнала на ее начальном уровне.

Однако Lo фильтр можно, в свою очередь, разложить на два фильтра и снова подвергнуть спектры этих новых фильтров операции децимации. Это означает изменение уровня реконструкции, которое можно представить деревом реконструкции (что будет сделано позднее).

Таким образом, может быть сформирована система вейвлет-фильтров, реализующих операцию декомпозиции сигнала того или иного уровня.

Операция последовательной разбивки Lo фильтров и постепенного огрубления сигнала была предложена Малла и известна как алгоритм Малла Подобные операции, в конце концов, обеспечивают существенное сокращение количества соответствующих обрабатываемых компонентов сигнала, что лежит в основе приближенного представления сигнала на разных уровнях декомпозиции сигнала. Такое представление позволяет реализовать операции сжатия (компрессии) сигналов и их очистки от шума.

46. Поясните, с какой целью и каким образом используется вейвлет - спектрограмма сигнала. Определите понятие вейвлет - спектрограммы. Кратко опишите вейвлет -спектрограмму модуля синусоидального сигнала, приведенную (с линейкой соответствия цветов и величин коэффициентов W(a_k, b_m) ) на рисунке.

Для изучения сигналов, обнаружения их локальных особенностей используют специальное и весьма специфическое представление непрерывного одномерного вейвлет преобразования в виде вейвлет-спектрограммы сигнала.

Вейвлет-спектрограмма, по сути, представляет собой изображение на масштабно временной плоскости своеобразного визуального образа сигнала, в котором с помощью различных цветов изображения отражается поведение и особенности сигнала при различном его рассмотрении.

Вейвлет-спектрограмма модуля синусоидальной зависимости с линейкой соответствия цветов и величин коэффициентов W(a_k, b_m) показана на рисунке.

Рисунок свидетельствует, что здесь локальным особенностям сигнала, экстремумам соответствуют светлые области спектрограммы (большие величины коэффициентов W(a_k, b_m)). Причем точки излома графика сигнала (точки, где изображающие график линии образуют угол или «острия») становятся заметными уже при малых коэффициентах а. Это является следствием того, что в точках перегиба функции (в острых минимумах) производная меняется, не так плавно, как у просто синусоиды, а очень резко. Наблюдая ход темных линий, образованных сгущением темных точек можно усмотреть тенденцию изменения сигнала (участки роста или убывания функции).

Очень важно, что вейвлет-спектрограммы сигналов позволяют выделять такие особенности сигналов, которые вообще незаметны на графиках сигналов.