Закон ципфа и фрактальная природа в экономических системах
Пятаев А., 4 курс, специальность 050602-Информатика
Научный рук.: к.т.н., доцент Куликова В.П.
Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева
(Казахстан, г. Петропавловск)
Наиболее эффективным инструментом техноценологического исследования является ранговый анализ [1]. В основе данного подхода лежит математика Ципфа – негауссовская математическая статистика устойчивых безгранично делимых распределений. Ранговое видовое распределение проектов имеет вид зависимости (закон Ципфа):
(1)
где U(r) – число особей одного вида (например, отрасль, форма инвестирования, объем финансовых вложений и т.п.);
В – коэффициент аппроксимации;
r – номер ранга
;
– ранговый видовой коэффициент, >0.
В рамках исследования применяется традиционный метод наименьших квадратов (минимизирующий сумму квадратов отклонений реально полученных в ходе рангового анализа техноценоза эмпирических значений Ui от значений, рассчитанных по аппроксимирующей зависимости) и методы, процедуры которых реализованы в системах компьютерной математики. При решении некоторых практических задач достоверность оценки параметров гиперболической аппроксимации проблематична.
Надо отметить, что закон Ципфа является ничем иным, как законом Парето «наоборот», поскольку и тот и другой – частные случаи степенных рядов, или проявление фрактальной природы экономических и социальных систем.
Исследование фрактальной природы экономических систем на основе рангового распределения вызвано следующими причинами:
целый ряд экономических явлений (богатство стран и отдельных людей, колебания цен на акции, курсы валют и т.п.) не подчиняется распределению Гаусса (для таких явлений характерным является то, что среднее значение очень сильно зависит от выборки);
значительное расслоение выборки значений показателей, описывающих экономическую систему.
Рассмотрим, например, распределение стран мира по объему ВВП. В 2010 году общемировой ВВП составил 57,7 трлн. долл. И почти половина его (48%) пришлась на четыре богатейшие страны мира (таблица 1), при том, что всего в списке было 192 страны.
Таблица 1
Богатейшие страны мира
Место |
Экономика |
Размер ВВП (млн. долларов) |
1 |
США |
14 256 300 |
2 |
Япония |
5 067 526 |
3 |
Китай |
4 984 731 |
4 |
Германия |
3 346 702 |
|
Итого |
27 655 259 |
Ранжированный график стран по объему ВВП (рисунок 1) очень похож на изображение кривой Ципфа (1) [1].
Рис. 1. Ранжирование стран по объему ВВП
Одно из свойств фрактальности – самоповторение. 80% мирового богатства 192-х стран сосредоточено всего в 18 странах (что составляет 9,4%). Причем суммарное богатство этих 18 стран – 46 трлн. долл. – распределено столь же неравномерно: примерно 80% от этих 46 трлн. сосредоточено в менее чем половине стран. Рассуждения можно продолжить….
Таблица 2 и рисунок 2 иллюстрируют построение ценоза по сгруппированным данным.
Таблица 2
Параметры рангового распределения по 180 странам
Шкала |
Количество |
Ранг |
[0; 8000] |
63 |
1 |
[8001; 25000] |
39 |
2 |
[25001; 50000] |
17 |
4 |
[50001; 100000] |
19 |
3 |
[100001; 230000] |
16 |
5 |
[230001; 400000] |
12 |
6 |
[400001; 1000000] |
9 |
7 |
[2,5 млн.; 15 млн.] |
5 |
8 |
Рис. 2. Параметрическое ранговое распределение
Получили уравнение 
,
т.е. параметр β=1,092.
Как показывает опыт исследования ценозов из различных областей человеческой деятельности, наилучшим является такое состояние ценоза, при котором параметр β находится в пределах 0,5≤β≤1,5. Однако, закон оптимального построения ценозов гласит, что устойчивое состояние достигается при β=1.
Все графики по объемам ВВП на любом из 8-ми интервалов похожи друг на друга и на кривую Ципфа (ограниченный объем статьи не позволяет привести все графики). Это свидетельствует о самоповторении в масштабе.
Расчетные значения показателя ценоза β таковы: по двадцати наиболее развитым странам показатель β=1,088; по пятидесяти – β=0,788; по ста – β=1,044; по всем странам – β=1,092. Итак, все построенные ценозы устойчивы. Наименее устойчивым из всех является ценоз, построенный по пятидесяти странам, что обусловлено маленькими отличиями объемов ВВП с тридцатого по пятидесятое место.