Совместные действия изгиба и кручения стержня

На практике деформации кручения часто сопутствует изгиб. Как правило, при работе вал изгибается собственным весом, весом шкивов, давлением на зубья шестерен, натяжением ремней и т.д. Сочетание изгиба с кручением имеет место в пространственных рамах, коленчатых валах и других элементах конструкций.

В предыдущих разделах рассматривались такие частные случаи слож­ного сопротивления (косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие), при которых в поперечных сечениях бруса возникали только нормальные напряжения, и, следовательно, имело место одноосное напряженное состо­яние. Это позволило при выводе расчетных формул использовать сечения произвольной формы.

В случае изгиба с кручением от крутящего момента в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, которые рассчитываются по разному для круглых и прямоугольных брусьев. Вследствие этого, рассматривать расчет сечений произвольной формы не представляется возможным.

Кручение с изгибом – частный случай сложного сопротивления, который может рассматриваться как сочетание чистого кручения и поперечного изгиба.

Рис.7.28

 

Определение внутренних усилий и напряжений при кручении с изгибом

Для определения внутренних усилий воспользуемся методом сечений:

Обычно две составляющие поперечной силы (Q_y, Q_z) и изгибающего момента (M_y, M_z) приводят к их полным результирующим

Заметим, что часто поперечной силой пренебрегают (для достаточно длинных валов) и рассматривают кручение с изгибом как совместное действие крутящего (M_x, M_кр, T) и изгибающего (M_и) моментов.

 

Расчет валов круглого (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом

Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 7.29).

Рис.7.29

 

Примем следующий порядок расчета.

1. Разлагаем все внешние силы на составляющие

P_1x, P_2x,..., P_nx и P_1y, P_2y,..., P_ny.

2. Строим эпюры изгибающих моментов M_ч и M_y. от этих групп сил.

У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента M_x, и M_y, а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис.7.30)

,

который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной оси п—п, перпендикулярной вектору М_изг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру М_изг спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.

Рис.7.30

 

3. Строится эпюра крутящего момента М_z.. Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении.

4. Находится опасное сечение вала.

Опасное сечение вала будем искать, как и прежде, по эпюрам внутренних усилий. При построении эпюр внутренних усилий при кручении с изгибом необходимо иметь ввиду следующие правила:

- эпюры крутящего момента M_x, а также эпюры составляющих поперечной силы Q_y, Q_z и изгибающего момента M_y, M_z строятся по той же процедуре, что и ранее;

- результирующая поперечная сила Q может не лежать в плоскости действия результирующего изгибающего момента M_и, а потому между ними уже не будет соблюдаться зависимость Журавского (dM/dx=Q), а, следовательно, и правила проверки эпюр, введенные для плоского изгиба;

- эпюра полного изгибающего момента будет прямой только на тех участках, где M_y и M_z ограничены прямыми с общей нулевой точкой, на участках, где такая общая точка отсутствует эпюра M_и будет описываться вогнутой кривой и строится по точкам (связано с тем, что вектор M_и в разных сечениях имеет различное направление).

Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего M_x и полного изгибающего M_и моментов. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент М_кр, то это сечение является опасным.

Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни М ни М_кр не являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.

В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам М и М_кр , необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных сечениях.

5. После установления опасного сечения вала в нем находят опасные точки. В сечении возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и кручения не учитываются.

Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k^/, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 7.31),

.

где W_изг — момент сопротивления при изгибе.

В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения

,

где W_р— момент сопротивления при кручении.

Рис.7.31

 

Как видно из рис. 7.31, в данном случае имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен вестись по одной из гипотез прочности. Для пластичных материалов применяют гипотезу наибольших касательных напряжений (III) или энергетическую гипотезу (IV).

Условие прочности по III гипотезе записывается в виде

. (44)

В рассматриваемом случае

,

или

, (45)

где - эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности.

Условие прочности по IV гипотезе прочности записывается в виде

. (46)

В рассматриваемом случае

,

или

, (47)

где - эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности.

Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе

. (48)

Аналогичный расчет проводится и для кольцевого сечения.

 

Пример 9.

Стальной вал круглого поперечного сечения передает мощность N=14,7 кВт при угловой скорости =10,5 рад/с. Величина наибольшего изгибающего момента, действующего на вал M_и=1,5 кНм. Исходя из условий прочности по III и IV теориям прочности, определить необходимый диаметр вала, если =80 МПа.

Решение.

Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по III гипотезе прочности

.

Находим величину передаваемого валом крутящего момента

.

Эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности равен

а диаметр вала

,

или =63,5 мм.

Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по IV гипотезе прочности

.

Эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности равен

,

а диаметр вала

,

или =62,3 мм.

Таким образом, расчет по энергетической теории прочности дал более экономичный размер сечения, чем по критерию наибольших касательных напряжений.

 

Вопросы для самопроверки

- Что такое сложное сопротивление стержней?

- Какие виды деформации бруса называют сложным со­противлением?

- Сформулируйте принципы, на которых строится рас­чет брусьев при сложном сопротивлении?

- В чем заключается принцип независимости действия сил?

- Опишите методику определения компонентов внутренних сил при сложном сопротивлении?

- Получите формулу нормальных напряжений при сложном сопротивлении?

- Дайте определение нулевой линии и опишите способы ее построения и эпюры нормальных напряжений при сложном сопротивлении?

- Какие внутренние усилия возникают в стержне в наиболее общем случае сложного сопротивления ?

- Какой изгиб называется косым?

- Когда возникает косой изгиб? Опишите порядок расчета брусьев при косом изгибе?

- Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?

- К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при косом изгибе ?

- По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

- Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

- Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

- Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

- Как определяется величина прогиба балки при косом изгибе?

- Как определить положение наиболее напряженной (опасной) точки бруса при косом изгибе?

- Как составить условие прочности при косом изгибе для бруса, имеющего точки сечения, максимально удаленные от обеих главных осей?

- Как определить перемещение сечения бруса при косом изгибе?

- Как определяются прогибы бруса при косом изгибе?

- Докажите ортогональность вектора прогиба и нулевой линии?

- Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

- К каким равнодействующим приводятся внутренние силы при внецентренном растяжении (или сжатии)?

- Какие виды напряжений испытывает сжимаемый стержень при внецентренном приложении сжимаемой или растягиваемой нагрузки?

- По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

- Получите формулу нормальных напряжений при внецентренном действии продольной силы?

- Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.

- Как определить положение наиболее напряженной (опасной) точки сечения бруса при внецентренном растяжении (сжатии)?

- Как составить условие прочности бруса при внецентренном растяжении (сжатии)?

- Докажите свойства нулевой линии и опишите ее по­строение при внецентренном действии продольной силы?

- Какое положение занимает нулевая линия, когда центр давления лежит на контуре ядра сечения, на контуре сечения?

- Что такое ядро сечения?

- Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

- Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

- Какие напряжения испытывают вал и ось? Чем они принципиально отличаются?

- Какое напряженное состояние возникает в поперечном сечении вала при совместном действии изгиба и кручения?

- Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при одновременном кручении и изгибе?

- Запишите выражения для эквивалентных моментов по различным гипотезам прочности, используемые при расчете бруса круглого сечения на прочность при одновременном изгибе и кручении?

- Напишите условие прочности для расчета вала?

- Как выбирается опасное сечение при расчете вала?

- Почему при изгибе с кручением и сочетании продольной силы с кручением расчет производится с использованием теорий прочности?

- В каких местах находятся опасные точки в брусе кругового сечения при сочетании продольной силы с кручением и изгиба с кручением?

- Получите выражения для главных напряжений в опасных точках при сочетаниях продольной силы с кручением и изгиба с кручением?

- Почему обычно не учитывают касательные напряжения от изгиба при расчете стержней на изгиб с кручением?

- Какие напряжения возникают в сечении вала в нагруженном состоянии?

- Какие теории прочности используются при расчете валов?

- Напишите расчетную формулу для определения диаметра вала?

- Почему согласно ГОСТу диаметр вала принимается кратным пяти?

- Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением? Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

- Какие напряженные состояния в точке называют равноопасными?

- Что представляет собой эквивалентное напряжение?

- Что такое теории прочности и для какой цели они применяются?

- Чем отличаются между собой различные теории прочности?

- Какое назначение имеют гипотезы предельных напряжений состояний (гипотезы прочности)?

- В чем заключается сущность гипотезы прочности максимальных касательных напряжений и энергетической гипотезы прочности?

- Напишите формулы для расчета эквивалентных напряжений при расчетах по теории максимальных касательных напряжений и теории энергии формоизменения? Поясните, как ими пользоваться?

- Как формулируется теория прочности наибольших касательных напряжений и условие прочности по ней?

- Как формулируется теория прочности удельной потенциальной энергии, идущей на изменение формы и условие прочности по ней?

- Напишите формулы для расчета эквивалентного момента при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжений и гипотез энергии формоизменения?

- В чем состоит теория прочности Мора?

- В чем преимущество гипотезы прочности Мора?

- Вычислите эквивалентный момент по третьей теории прочности? Изгибающий момент в поперечном сечении вала М_и=4000 Нм. Крутящий момент в том же сечении М_к=3000 Нм. Определите диаметр вала, приняв допускаемое напряжение =100 МПа?

- Как составить условие прочности для бруса круглого поперечного сечения в общем случае деформации?

 

- На рисунке изображены различные поперечные сечения балок и положения плоскости действия изгибающих балку моментов. Ука­зать, в каких случаях будет плоский, в каких - косой изгиб?

1) 2) 3) 4)

 

- По какой формуле определяют напряжения при косом изгибе?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- Какие точки данного поперечного сечения балки при косом изгибе будут опасными?

- Нейтральная ось при косом изгибе проходит:

1) перпендикулярно плоскости действия сил;

2) перпендикулярно плоскости прогибов;

3) перпендикулярно главной плоскости.

 

- Какой вид сложного сопротивления испытывает данный стержень?

1) Косой изгиб;

2) Изгиб и кручение;

3) Внецентренное растяжение-сжатие;

4) Продольный изгиб.

- Напряжения для данного стержня (см. рис. в предыдущем примере) в указанных точках определяют по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- Определить в каком случае нормальные напряжения в основании стойки будут больше? Почему?

 

- Максимальные напряжения для стержня (а) (см. рис. в предыдущем примере) в основании стойки определяют по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- На валу, приводимом в движение мотором М, насажен посередине шкив весом 0,5 кН, диаметром 1,2м. Натяжение ведущей части ремня, надетого на шкив, равно 0,6 кН, а ведомой - 0,3 кН. Какой вид сложного сопротивления испытывает вал:

1) внецентренное растяжение (сжатие);

2) косой изгиб;

3) изгиб с кручением;

4) изгиб с растяжением.

- Условие прочности для данного вала имеет вид:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

- Какой вид сложного сопротивления испытывает вал зубчатой передачи?

1) изгиб с растяжением,

2) косой изгиб,

3) изгиб с кручением.

 

- Косой изгиб является сложным сопротивлением.

1) да;

2) нет;

3) да, если добавить растяжение- сжатие.

 

- Растяжение – сжатие вид сложного сопротивлении.

1) нет;

2) да;

3) да, в наклонном сечении стержня.

 

- При сложном сопротивлении, в каком случае в сечении имеются точки, где нормальное напряжение s равно нулю.

1) косой изгиб;

2) поперечный изгиб;

3) внецентренное растяжение- сжатие.

 

- При какой разновидности сложного сопротивления имеется «ядро сечение».

1) растяжение-сжатие;

2) изгиб с кручением;

3) внецентренное сжатие.

 

- Заклепочное соединение работает в условиях сложного сопротивления.

1) да;

2) нет;

3) при осевом сжатии заклепок.