Методы экстраполяции
Экстраполяция (распространение прошлых и настоящих закономерностей на будущее) является наиболее распространённым методом краткосрочного прогнозирования экономических явлений.
При использовании методов экстраполяции исходят из предположения, что динамика развития объекта прогнозирования, отмеченная за последние годы, сохранится также и на ближайшую перспективу.
3.1. Экстраполяция по росту
Возможны два варианта экстраполяции по темпу роста.
Вариант А. Прогнозное значение определяется по формуле:
,
где - темп роста, который находится из выражения:
,
здесь
- значение показателя текущего периода;
-
значение показателя предыдущего периода.
Вариант Б. Если имеется динамика за ряд предшествующих периодов, то можно использовать усредненный темп роста:
,
.
Пример. Данные об объеме реализации автомобилей фирмой «Шумахер» за последние пять лет приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Объем продаж автомобилей фирмой «Шумахер»
Порядковый
номер,
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Год |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
Количество проданных автомобилей, шт. |
1280 |
1350 |
1480 |
1550 |
1660 |
Необходимо определить ожидаемый объём продаж в 2012 году.
Решение:
Вариант
А:
;
.
Вариант
Б:
;
.
3.2. Экстраполяция по приросту
В данном случае также возможно применение нескольких вариантов расчета значения прогнозируемого параметра.
Вариант А. Прогнозное значение определяется по формуле:
,
где
- прирост, который находится из выражения:
.
Вариант Б. Если имеется динамика за ряд предшествующих периодов, то можно использовать усредненный темп прироста:
;
.
При прогнозировании объёмов продаж автомобилей (приведённый выше пример, таблица 3.1) получаем следующие варианты прогнозов:
Вариант
А.
;
.
Вариант
Б.
;
.
3.3. Аппроксимация динамического ряда аналитическими функциями
Наиболее информативным, но и более трудоёмким методом экстраполяции является аппроксимация динамического ряда аналитическими функциями. При аппроксимации динамического ряда аналитическими функциями предполагается, что для описания динамического ряда будет использована функция, адекватно описывающая динамику развития объекта исследования. Чаще всего для аппроксимации используются:
линейная функция
;парабола
;гипербола
;логарифмическая функция
;экспоненциальная функция
.
Каждая функция имеет свою сферу применения. Например, линейная функция используется для описания равномерно развивающихся процессов, а гипербола хорошо описывает процессы, для которых характерно насыщение рынка.
Для
определения значений эмпирических
коэффициентов
и
обычно используется метод наименьших
квадратов. Суть данного метода заключается
в определении таких значений эмпирических
коэффициентов, которые минимизируют
сумму квадратов отклонений расчётных
и фактических значений динамического
ряда:
,
где
и
- расчётные и фактические значения;
- число наблюдений.
Так для линейной функции имеем:
Известно, что функция имеет экстремум, если её производная равна нулю. Дифференцируя функцию по искомым переменным и приравнивая производную нулю, получаем систему линейных уравнений, решая которую найдём неизвестные эмпирические коэффициенты:
или
При
прогнозировании исследуемого процесса
в аналитическую зависимость подставляют
вместо параметра
порядковый номер следующего прогнозного
периода и получают точечное значение
прогнозируемого параметра. Так как
исследуемые процессы носят вероятностный
характер, то помимо точечного прогноза,
как правило, определяют границы возможного
изменения прогнозируемого показателя
– доверительные интервалы. Ширину
доверительного интервала рассчитывают
по формуле:
,
где
-
коэффициент доверия по распределению
Стьюдента, выбирается в соответствии
с принятым уровнем доверительной
вероятности (табл. 3.2);
-
среднее квадратическое отклонение от
тренда:
.
Таблица 3.2
Значения коэффициента доверия по распределению Стьюдента
Уровень доверительной вероятности, |
0,683 |
0,95 |
0,99 |
0,997 |
Коэффициент доверия, |
1 |
1,96 |
2,576 |
3 |
Пример. Данные об объеме реализации автомобилей фирмой «Шумахер» за пять лет приведены в таблице 3.1.
Необходимо определить ожидаемый объём продаж в 2012 году, используя линейную и параболическую функции.
Решение:
Результаты предварительных расчётов сведём в таблицу 3.3.
Решая систему уравнений для определения параметров линейной функции:
получаем:
Таблица 3.3