1. Дерева. Означення та основні властивості.

Граф називають деревом, якщо він зв’язний і не містить простих циклів. Граф, який не містить простих циклів і складається з К компонент називають лісом з К дерев.

Теорема. Нехай граф Т має n вершин. Тоді такі твердження еквівалентні:

(І). Т є деревом.

(ІІ). Т не містить простих циклів і має (n-1) ребро.

(ІІІ). Т зв’язний і має (n-1) ребро.

(4). Т зв’язний, але вилучення довільного ребра робить його незв’язним.

(5). Довільні 2 вершини графа Т з’єднані точно 1 простим шляхом.

(6). Т не містить простих циклів, але додаванням до нього довільного нового ребра отримаємо точно 1 простих цикл.

Д-ня. (математичною індукцією). У разі n=1 твердження тривіальні. Припустимо, що n>2.

(І)->(ІІ). За означенням Т не містить простих циклів. Отже, вилучивши довільне ребро отримаємо 2 графи, кожний з яких є деревом з меншою ніж в Т, кількістю вершин. За припущенням індукції к-сть ребер у кожному із отриманих дерев на 1 менша від к-ті вершин. Звідси випливає, що граф Т має (n-1) ребро.

(ІІ)->(ІІІ). Припустимо, що Т незв’язний. Тоді кожна його компонента є зв’язним графом, що не містить простих циклів, тобто деревом. Звідси випливає, що к-сть вершин і кожній компоненті на 1 більша від к-сті ребер. Отже, загальна к-сть вершин графа Т більша від к-сті ребер принаймні на 2. Але це суперечить тому, що граф Т має (n-1) ребро.

(ІІІ)-(4). Вилучимо довільне ребро, отримаємо граф з n вершинами та (n-2) ребрами. Припущення про зв’язність такого графа суперечить теоремі про оцінку (знизу) к-сті ребер звичайного графа.

(4)-(5). Оскільки граф Т зв’язний, то кожна пара його вершин з’єднана принаймні одним простим шляхом. Якщо припустити, що деяка пара вершин з’єднана 2 простими шляхами, то вони замикаються у простий цикл, але це суперечить тому, що вилучення довільного ребра робить граф Т незв’язним.

(5)-(6). Припустимо, що Т містить простий цикл, тоді довільні 2 вершини цього простого циклу з’єднані принаймні 2 простими шляхами, що суперечить (5). Додамо тепер до графа Т ребро е, тоді отримаємо єдиний простий цикл, оскільки інцидентні е вершини вже з’єднані в Т точно одним простим шляхом.

(6)-(І). Пропустимо, що Т незв’язний, тоді додавання будь-якого ребра, що з’єднує вершину однієї компоненти з вершиною іншої, не призводить до утворення простого циклу, що суперечить (4).

Наслідок з (ІІ). Ліз з К дерев, який містить n вершин має (n-к) ребер.

2. Кореневе дерево. Упорядковане кореневе дерево, m-арне дерево, повне m-арне дерево.

Розглянемо кореневе дерево. У багатьох застосуваннях певну вершину дерева визначають як корінь. Дерево разом з виділеним коренем утворює орієнтований граф, який називають кореневим деревом. Вершини дерева, які не мають синів називають листками. Вершини, які мають синів, називають внутрішніми. Кореневе дерево називають m-арним, якщо кожна внутрішня вершина має не більше m синів. Дерево називають повним m-арним, якщо кожна внутрішня вершина має точно m синів. У разі m=2 дерево називають бінарним. Упорядковане кореневе дерево – це кореневе дерево, в якому сини кожної внутрішньої вершини впорядковані.

Якщо внутрішня вершина v в упорядкованому бінарному дереві має 2 синів, то першого називають лівим сином, а другого – правим. Піддерево з коренем і вершині, яка є лівим сином вершини v називають лівим під деревом у вершині v. Якщо корінь піддерева є правим сином вершини v, то таке піддерево називають правим під деревом у вершині v.