Моделирование случайных векторов

Случайным вектором (системой случайных величин) называют совокупность случайных величин, совместно характеризующих какое-либо случайное явление: где – СВ с теми или иными законами распределения.

.

Исчерпывающей характеристикой случайного вектора является совместная многомерная функция распределения его компонент или соответствующая ему совместная многомерная плотность вероятности .

Проще всего моделировать случайный вектор с независимыми компонентами, для которого

справедливо, т.е. каждую из компонент случайного вектора можно моделировать независимо от других в соответствии с ее "собственной" плотностью вероятности .

В случае, когда компоненты случайного вектора статистически зависимы, необходимо использовать специальные методы:

• метод условных распределений;

• метод исключения (Неймана);

• метод линейных преобразований.

Метод условных распределений

Метод основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для каждой из компонент случайного вектора X с многомерной совместной плотностью вероятности .

Для плотности распределения случайного вектора X можно записать:

,

где — плотность распределения СВ ; — плотность условного распределения СВ X_k при условии: ; ; …; .

Для получения указанных плотностей необходимо провести интегрирование совместной плотности распределения случайного вектора в соответствующих пределах:

Порядок моделирования:

• моделировать значение СВ по закону ;

• моделировать значение СВ по закону ;

• ...;

• моделировать значение СВ по закону .

Тогда вектор и есть реализация искомого случайного вектора X.

Метод условных распределений (как и метод обратной функции для скалярной СВ) позволяет учесть все статистические свойства случайного вектора. Поэтому справедлив вывод: если имеется возможность получить условные плотности распределения , следует пользоваться именно этим методом.

Метод исключения (Неймана)

Метод является обобщением уже рассмотренного для СВ метода Неймана на случай п переменных. Предполагается, что все компоненты случайного вектора распределены в конечных интервалах

. .

Если это не так, необходимо произвести усечение плотности распределения для выполнения данного условия.

Алгоритм метода:

1. Генерируются ПСЧ: ; , распределенных, соответственно, на интервалах , ,…, ; ;

.

2. Если выполняется условие: , то вектор и есть искомая реализация случайного вектора.

3. Если данное условие не выполняется, переходят к первому пункту и т.д.

Рис. 3 содержит иллюстрацию данного алгоритма для двумерного случая.

Возврат к п. 1 после "неудачного" моделирования п ПСЧ происходит тогда, когда точка Q окажется выше поверхности, представляющей двумерную плотность вероятности . Для случая, представленного на рисунке, в качестве (очередной) реализации двумерного случайного вектора следует взять пару ПСЧ .

Среднюю относительную частоту "неудач" можно вычислить геометрическим способом, взяв отношение объемов соответствующих фигур.

Для одномерного случая, основным достоинством метода Неймана является его универсальность. Однако для плотностей вероятностей, поверхности которых имеют острые пики, достаточно часто будут встречаться "пустые" прогоны, когда очередные n ПСЧ бракуются. Этот недостаток тем существеннее, чем больше размерность моделируемого вектора и длиннее требуемая выборка реализаций случайного вектора. На практике такие ситуации встречаются не слишком часто, поэтому метод исключений и имеет столь широкое распространение.

Рис. 3. Моделирование двумерного случайного вектора методом Неймана.