1. Технічні, організаційні та організаційно-технічні об’єкти (ОТО), які проектуються, створюються та експлуатуються в наш час у різних сферах людської діяльності, стають все більш складними. Нелінійно зростають витрати часу, матеріальних, енергетичних і фінансових ресурсів на проектування, створення й експлуатацію ОТО. Задля скорочення витрат ресурсів та уникнення небажаних наслідків на всіх етапах їх життєвих циклів постає необхідність прийняття відносно них обґрунтованих проектних та управлінських рішень. Проте проведення натурних експериментів на самому об’єкті, як правило, неможливе (об’єкта нема або недоступний) або недоцільне (ризик великих або незворотних втрат). Ефективним засобом аналізу таких об’єктів все частіше стає математичне моделювання, що здійснюється з використанням електронно-обчислювальних машин (ЕОМ) або персональних комп’ютерів. Використання моделювання дозволяє істотно скоротити час прийняття рішень, підвищити їхню якість, спрогнозувати наслідки. Найбільшого поширення при цьому набуває математичне моделювання об’єктів. Метою дисципліни "Моделювання систем" є вивчення методології і технології математичного комп'ютерного моделювання в процесах проектування, дослідження та експлуатації організаційно-технічних об’єктів (ОТО); набуття практичних навичок використання математичного моделювання в задачах аналізу і синтезу ОТО. Завдання дисципліни. В результаті вивчення дисципліни студенти повинні: - знати основні класи моделей і методів моделювання систем, принципи побудови моделей процесів функціонування організаційно-технічних об’єктів, методи їх формалізації і алгоритмізації, можливості реалізації моделей їх функціонування з икористанням сучасних програмно-технічних засобів; -уміти використовувати методи системного моделювання під час проектування, дослідження та експлуатації ОТО, розробляти схеми моделюючих алгоритмів, проводити планування машинних експериментів, реалізувати моделюючі алгоритми на комп'ютерах (ЕОМ), виконувати обробку та аналіз результатів моделювання ОТО.

2. МОДЕЛЮВАННЯ ЯК МЕТОД АНАЛІЗУ ОБ’ЄКТІВ

Моделювання - процес побудови моделі об’єкта, який досліджується, та оперування з нею для отримання корисної інформації щодо об’єкта дослідження. Модель - математичне, фізичне або інше логічне зображення системи, об’єкта, явища або процесу. Ступінь відповідності між моделлю й об’єктом встановлюються за допомогою понять ізоморфізму і гомоморфізму. Об’єкт і модель вважаються ізоморфними, якщо між ними існує взаємно однозначна відповідність, завдяки якій можна перетворювати одне подання в інше. Гомоморфність - наявність однозначної відповідності лише в одному напрямку: від моделі до об’єкта. Система як форма подання об’єкта - сукупність взаємопов’язаних елементів, що сприймаються як одне ціле. Система характеризується своєю структурою та властивостями. Під труктурою розуміють відображення сукупності її елементів Е та відношень між ними R. У межах теоретико-множинного подання система визначається так: S=<E, R>. Стан системи - значення характеристик, що описують властивості системи в конкретний момент часу називають. Динаміка (рух) - характер зміни стану системи у часі. Серед об’єктів дослідження виділяють такі, якими не управляють (некеровані), та такі, якими управляють (керовані). Процеси функціонування некерованих систем проходять без керуючих впливів, а їх динаміка однозначно визначається їх внутрішніми властивостями, початковими станом і «нецільовим» впливом зовнішнього середовища. Динаміка керованих об’єктів в основному визначається керуючим впливом (сигналами), який здійснюється системою управління (регулятором), відповідно до їх мети, впливу збурення, стану та обраного закону управління. Моделювання є обов’язковим етапом будь-якої цілеспрямованої діяльності. Використання моделювання дозволяє істотно скоротити час прийняття рішень, підвищити їхню якість, спрогнозувати наслідки. Серед основних причин широкого застосування математичного моделювання у всіх сферах людської діяльності виділяють необхідність раціонального використання ресурсів та необхідність скорочення термінів проектування антропогенних об’єктів.

3. Застосування моделювання при створенні та експлуатації ОТО. У найбільш загальному випадку ОТО розглядаються як складні системи, для яких як об’єктів моделювання характерними є такі особливості: – складність структури і стохастичний характер зв’язків між елементами; – неоднозначність алгоритмів поведінки у різних умовах; – велика кількість параметрів і змінних; – неповнота і не детермінованість вхідної інформації; – стохастичний характер і різноманітність зовнішніх впливів; – обмежені можливості проведення натурних експериментів. Вибір методів і засобів моделювання визначаються метою і задачами дослідження на кожному з етапів і стадій їх проектування. На стадії макропроектування розробляються узагальнені моделі процесів функціонування ОТО, які дають можливість розробнику системи отримувати відповіді на запитання щодо ефективності різних стратегій управління об’єктом. На стадії мікропроектування розробляють моделі для задач створення ефективних забезпечуючих підсистем систем керування ОТО. На етапах передпроектних досліджень і розробки технічного завдання на проектування моделі мають описовий характер і служать компактним носієм інформації для розробників системи. На етапах розробки технічного і робочого проектів моделі окремих підсистем деталізуються і використовуються для розв’язання задач їх синтезу. На етапах впровадження й експлуатації ОТО моделі використовуються для програвання можливих ситуацій для прийняття обґрунтованих рішень, для навчання і тренувань персоналу систем управління, планування розвитку об’єктів.

4. Класифікація видів моделювання

Для класифікації видів моделювання найчастіше використовують: ступінь повноти моделі, характер властивостей, які відображує модель, природа моделі. В основі моделювання лежить теорія подібності - абсолютна подібність може мати місце лише при заміні одного об’єкта іншим точно таким самим. При моделюванні абсолютна подібність не має місця й прагнуть до того, щоб модель адекватно відображала досліджувану сторону функціонування об’єкта. За ознакою ступеня повноти моделі розділяють на повні, неповні й наближені. В основі повного моделювання лежить повна подібність між об’єктом і моделлю. Неповне моделювання - неповна подібність моделі досліджуваному об’єкту. Наближене моделювання - деякі сторони функціонування досліджуваного об’єкта не моделюються зовсім. Залежно від характеру досліджуваних процесів об’єкта розрізнюють: детерміноване і стохастичне; статичне і динамічне; дискретне, неперервне та дискретно-неперервне моделювання. Детерміноване моделювання відображує детерміновані процеси (процеси, у яких відсутні випадкові фактори). Стохастичне моделювання відображує імовірнісні процеси і події. Статичне моделювання служить для опису поведінки об’єкта в певний момент часу. Динамічне моделювання відображує зміни стану об’єкта в часі. Дискретне моделювання служить для опису процесів, які передбачаються дискретними. Неперервне моделювання дозволяє відобразити неперервні процеси в системах. Дискретно-неперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність як дискретних, так і неперервних процесів. Залежно від форми подання об’єкта (системи) виділяють реальне й уявне моделювання. При реальному моделюванні використовується можливість дослідження характеристик на існуючому об’єкті. Різновидами реального моделювання є натурне і фізичне моделювання. Натурним моделюванням називають проведення дослідження на реальному об’єкті з наступною обробкою результатів експерименту на основі теорії подібності. Під час фізичного моделювання дослідження проводиться на установках, які мають ту ж саму природу, що і досліджувані явища або мають фізичну подібність до них. Різновидами уявного моделювання є наочне, символічне і математичне моделювання. Під математичним моделюванням розуміється процес установлення відповідності реальному об’єкту математичного об’єкта, що називається математичною моделлю, та експериментування з цією моделлю для одержання характеристик досліджуваного об’єкта. Математичне моделювання розділяють на аналітичне, імітаційне і комбіноване. При використанні аналітичного моделювання процеси функціонування об’єктів подаються у вигляді деяких функціональних співвідношень або логічних умов. Аналітичні моделі можуть досліджуватися аналітичними, чисельними або якісними методами. При імітаційному моделюванні функціонування об’єкта відтворюється за допомогою спеціального моделювального алгоритму шляхом імітації елементарних явищ процесу зі збереженням їх логічної структури й послідовності протікання в часі. Імітаційні моделі дозволяють досить просто враховувати такі фактори як наявність дискретних і неперервних елементів, нелінійні характеристики елементів об’єкта, численні випадкові впливи та інші, які часто створюють труднощі при аналітичних дослідженнях. Коли результати, отримані за допомогою імітаційної моделі, є реалізаціями випадкових величин і функцій, для знаходження характеристик процесу потрібно його багаторазове відтворення з наступною статистичною обробкою інформації. У таких випадках як метод машинної реалізації імітаційної моделі доцільно використовувати метод статистичного моделювання.

5. Критерії оцінки ефективності моделювання

Ефективність моделювання визначається на практиці шляхом співставлення

ефекту від використання його результатів і витрат на його проведення. Ефективність

математичного моделювання може оцінюватися рядом часткових критеріїв, у

тому числі: точністю результатів моделювання; адекватністю, економічністю,

універсальністю моделі. Ефект від моделювання зростає з підвищенням точності моделі. Як показник точності моделі використовують похибку ε – ступінь збігу

результатів, отриманих на об’єкті Х⁰ та за допомогою моделі Х^m. Показники

точності можуть бути векторними ε_і=│Хі⁰ – Хі^m│(де і – номер показника, що

визначається за допомогою моделі) або скалярними. Для оцінки результатів статистичного моделювання разом із показником точності рекомендується використовувати показник достовірності отриманих оцінок α_i – ймовірність того, що похибка εⁱ не перевищить задане значення ε*_i, α_і= р[x_io - x_im│≤ε_i*], i=1,n. Адекватність моделі є якісним показником і характеризує її здатність відображати властивості об’єкта з похибкою, що не перевищує заданого значення ε*, тобто ║ε║≤ε*. Стійкість характеризує ступінь можливого збурення вихідних змінних

моделі при незначній зміні її вхідних змінних. Нехай модель М досліджуваного об’єкта подана у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь: Ax = b, де A – матриця постійних коефіцієнтів розмірністю n*n; х – шуканий вектор невідомих розмірністю n; b – вектор коефіцієнтів правої частини розмірністю n. Модель зі збуреною матрицею A має вигляд: (А + ΔА)x = b, де ΔA. – збурення матриці A, що відповідає похибці визначення її коефіцієнтів. Модель зі збуреною правою частиною b має вигляд: Аx= (b+Δb), де Δb – збурення вектора правої частини b, що відповідає похибці визначення його координат. Показником стійкості моделі - число обумовленості матриці A: γ₁(М) = Соnd (А)= ║A║║A^-1║, де ║A║та║A^-1║ – відповідно норми матриці A та оберненої до неї матриці A^-1.

Витрати на моделювання зменшуються при зростанні економічності та

зменшенні універсальності моделей. Економічність моделі характеризується

розміром витрат ресурсів на моделювання. Універсальність моделі характеризує її здатність відображати різні властивості об’єкта дослідження.

6. Послідовність розробки і машинної реалізації моделей об’єктів

Основними етапами моделювання є: побудова концептуальної моделі об’єкта та її формалізація; алгоритмізація моделі об’єкта та її машинна реалізація; одержання та інтерпретація результатів моделювання. Під концептуальною моделлю розуміється стисле подання основних властивостей об’єкта. Процес, що моделюється спочатку подається у вигляді підсистеми. Формалізація – опис об’єкта формальною мовою.

Основні задачі 1-го етапу є: – постановка задачі моделювання; аналіз задачі моделювання; висування гіпотез і прийняття припущень; – складання технічної документації за результатами виконання першого етапу. На 2-му етапі математична модель, втілюється в конкретну машинну модель. Основними задачами цього етапу є: – побудова логічної схеми моделі; – одержання математичних співвідношень; – перевірка достовірності моделі; – складання технічної документації. На 3-му етапі виконується перехід від інформації, одержаної під час експериментів, до інформації стосовно об’єкта моделювання. Основними задачами цього етапу є:– планування машинного експерименту з моделлю;– визначення вимог до обчислювальних засобів; – проведення робочих розрахунків;– складання технічної документації.

При одержанні нової інформації щодо об’єкта моделювання його модель переглядається й уточнюється. Процес моделювання триває доти, доки не буде отримана ефективна адекватна модель об’єкта , яка відповідає усім вимогам, що були поставлені під час розв’язання задачі його дослідження.