Рух тіл змінної маси. Реактивний рух

Під рухом тіла змінної маси розуміють такий рух, при якому маса тіла змінюється з часом: m=m(t). Наприклад, маси ракет, які несуть космічні апарати, реактивних літаків та інших літаючих реактивних апаратів зменшуються з часом за рахунок викидання газів, утворених при згорянні великої кількості палива.

Виведемо рівняння руху тіла (матеріальної точки) змінної маси на прикладі руху ракети. Принцип дії ракети полягає в тому, що вона в певному напрямі викидає з великою швидкістю частину своєї маси у вигляді газів, діючи на них з великою силою. Гази з такою самою силою, але протилежно напрямленою, діють на ракету і надають їй прискорення. Для спрощення вважатимемо, що гази виходять із сопла ракети зі сталою швидкістю, значення якої відносно ракети дорівнює и, і маса ракети змінюється безперервно. На ракету діють зовнішні сили (гравітаційні сили притягання Землі, Сонця і планет, сила опору середовища), векторна сума яких дорівнює .

Нехай у момент часу t ракета має масу m, їі швидкість у нерухомій системі відліку дорівнює і імпульс ракети . За наступний проміжок часу dt маса ракети зменшиться і стане рівною m - dm, а її швидкість збільшиться до тобто в момент часу t + dt після викидання газів масою dm імпульс системи

де враховано, що в нерухомій системі відліку маса викинутих газів dm має початкову швидкість у напрямі руху ракети. Отже, за проміжок часу dt відбулась зміна імпульсу системи

або

Зміна імпульсу системи за час (її дорівнює імпульсу головного вектора зовнішніх сил:

або

Цей вираз називається рівнянням руху тіла змінної маси або рівнянням Мещерського. Перший доданок у правій частиш рівняння – це сила, зумовлена зміною маси ракети, і називається реактивною силою або силою тяги:

Сила тяги ракети пропорційна швидкості зміни маси ракети і швидкості , з якою виходять гази із сопла ракети. Вона діє на ракету з боку газів у напрямі, протилежному напряму газового потоку.

Принцип реактивного руху тіла полягає у виникненні реактивної сили внаслідок зміни маси тіла і викидання частинок маси у момент відокремлення з відносною швидкістю щодо основного тіла.

Припустимо, що на ракету не діють зовнішні сили. Тоді при =0 рівняння (2.42) набуває вигляду

або в скалярній формі

де враховано, що швидкість виходу газів із ракети за напрямом протилежна швидкості ракети. Нехай у початковий момент часу швидкість ракети дорівнює нулю, а її маса т_а. Після згоряння всього запасу палива ракета досягає швидкості V і її маса стає рівною т_к. Інтегруючи останнє рівняння в цих межах, знаходимо

Цей вираз називається формулою Ціолковського.

Ідея використання реактивної сили для створення літаючих апаратів уперше була висловлена українським інженером М. І. Кибальчичем (1853 – 1881). Сила тяги реактивного двигуна не залежить від наявності середовища (наприклад, повітря для гвинтових літаків).

1.6

Тверде тіло як система матеріальних точок. Центр мас

Переходячи від механіки матеріальної точки до механіки твердого тіла, ми по суті переходимо до тих задач, де треба враховувати форму і розміри тіла. У цьому розділі для спрощення розглядатимемо абсолютно тверде тіло, тобто таке, яке під дією прикладених до нього сил зовсім не деформується. У такому тілі взаємне положення частин його залишається незмінним. Зрозуміло, що всі реальні тіла під дією зовнішніх сил деформуються, але в багатьох задачах цим можна знехтувати.

Задачі, в яких деформації твердих тіл мають істотне значення, виділяють в окремий розділ.

Тверде тіло розглядатимемо як певну систему матеріальних точок. Знаючи основні закони руху матеріальної точки, спробуємо знайти деякі загальні характеристики для руху твердого тіла в цілому.

Що ж треба розуміти під рухом твердого тіла в цілому, якщо уявляти його як систему матеріальних точок? Під рухом твердого тіла в цілому розуміють рух центра його маси (центра інерції).