5.3. Проверка многофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.

Дисперсия адекватности и её число степеней свободы равны:

, (24)

, (25)

где n – число дублей в каждом опыте;  ‑ остаточная сумма квадратов;  ‑ расчетные значения параметра Y, полученные по многофакторному уравнению регрессии первого порядка ( ), которое содержит только значимые коэффициенты; N_k ‑ число опытов; В ‑ число значимых коэффициентов многофакторного уравнения регрессии первого порядка.

Адекватность уравнения регрессии проверяется по критерию Фишера:

‑ экспериментальное значение критерия Фишера F_э, (отношение большей дисперсии к меньшей):

, (26)

‑ табличное значение критерия Фишера , где  ‑ число степеней свободы большей дисперсии,  ‑ число степеней свободы меньшей дисперсии, выбирается из таблицы Приложения 4;

‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р адекватно, если:

, (27)

‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р неадекватно, если:

. (28)

6. Абсолютная погрешность параметра рассчитанного по уравнению , в случае его адекватности, определяется по формуле:

, (29)

где  ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

7. Если полученное многофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению многофакторного уравнению регрессии второго порядка.

Б. Многофакторное уравнение регрессии второго порядка

8. Квадратичная модель: многофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка, выражающее зависимость параметра Y от k факторов , имеет следующий вид:

. (30)

9. Матрица планирования для построения многофакторного уравнения регрессии второго порядка представляет собой таблицу, состоящую из опытов с числом дублей n каждый, включает в себя столбцы: N_k, , , , , , значения которых позволяют выполнить предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних и выборочных дисперсий в каждом опыте, проверка выборочных дисперсий на однородность, расчёт дисперсии воспроизводимости). Такая матрица создаётся на базе ортогонального центрального композиционного плана (ОЦКП), который включает опыты ЦПФП и дополнительные опыты в звёздных точках – по 2  опыта на каждый фактор , . Количество опытов ОЦКП при числе факторов  равно . Величина звездного плеча для ОЦКП рассчитывают по формуле:

, (31)

10. Так как число опытов по сравнению с ранее проведенным экспериментом для построения многофакторного уравнения регрессии первого порядка увеличилось на опытов (звёздные точки), то необходимо заново провести предварительную обработку экспериментальных данных в каждом опыте с числом дублей n каждый по уравнениям (6) – (12).

11. Матрица моделирования для построения многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка строится на базе ОЦКП из опытов и включает в себя столбцы: , , , , , , , , , значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности и оптимизация в случае адекватности уравнения регрессии). Ортогонализирующий коэффициент для квадратичного фактора рассчитывают по уравнению:

. (32)

12. Коэффициенты многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:

, (33)

, , (34)

, , (35)

, . (36)

13. Дисперсии значимости коэффициентов многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:

, (37)

, , (38)

, , (39)

, . (40)

Отметим свойство матрицы моделирования на базе ОЦКП (см. уравнения (38) – (40):

, , (41)

, . (42)

, . (43)

14. Доверительные интервалы коэффициентов многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формулам:

, (44)

, , (45)

, , (46)

, , (47)

где  ‑ критическое значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

Из равенства дисперсий (41) – (43) следует равенство доверительных интервалов:

, , (48)

, , (49)

, . (50)

15. Коэффициенты уравнения регрессии второго порядка значимы, если:

, (51)

, , (52)

, , (53)

, , . (54)

Если для какого-либо регрессионного коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот регрессионный коэффициент незначим, и он исключается из полученного уравнения регрессии.

16. Дисперсия адекватности и её число степеней свободы для многофакторного ортогонализированного уравнения регрессии второго порядка рассчитывают по формуле:

, (55)

, (56)

где n – число дублей в каждом опыте;  ‑ остаточная сумма квадратов;  ‑ значение параметра Y, рассчитанное по многофакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , в котором оставлены только значимые коэффициенты,  ‑ число опытов; В – число значимых коэффициентов многофакторного уравнения регрессии второго порядка.

17. Адекватность уравнения регрессии любого порядка проверяется по критерию Фишера (см. уравнения (26) – (28)).

18. Предельную абсолютную погрешность параметра рассчитанного по двухфакторному ортогонализированному уравнению регрессии второго порядка , определяют по формуле:

, (57)

где  ‑ критическое значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

19. Если многофакторное ортогонализированное уравнение регрессии второго порядка адекватно и все регрессионные коэффициенты отрицательные (положительные), то уравнение регрессии имеет абсолютный максимум (минимум) . Если к тому же все коэффициенты незначимы, то:

, . (58)