Методические указания к выполнению контрольной работы №2

Задача 1.

а)

Решение. Обозначим:

формула интегрирования по частям дает:

б) Вычислить интеграл методом замены переменной:

Решение. Выполняем замену переменной , дифференциру­ем это соотношение , подставляем результаты в подынтеграль­ное выражение, находим полученный интеграл и возвращаемся к заданной переменной х:

Задача 2.

Решение. Вводим новую переменную интегрирования, полагая дифференцируем:

;

Задача 3.

Решить дифференциальное уравнение.

а) .

Решение. Выразим производную через дифференциалы переменных: , умножим обе части уравнения на dx и разложим коэффициент при dy на множители:

Далее разделим переменные в данном уравнении, деля обе его части на :

и, интегрируя, находим общий интеграл:

б) Найти общее решение линейного уравнения: .

Решение. Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем тогда и данное уравнение преобразуется к виду:

или

Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять произ­вольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v'-v ctgx = 0.

Тогда для отыскания и получим уравнение u'v= sin x.

Решая первое из этих уравнений, найдем v; разделяя переменные и интег­рируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и как общий инте­грал этого уравнения:

Зная u и v, находим искомую функцию у:

.

Задача 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2х и y = 3x²

Решение: найдем абсциссы точек пересечения прямой y = 2х и параболы у = 3  х², Решая систему уравнений:

получим x₁ =  3, х₂ = 1. Искомая площадь равна:

Задача 5.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Предел общего члена , то есть общий член не стремится к нулю. Необходимый признак сходимости ряда не выполнен и поэтому данный ряд является расходящимся.

Решение. Необходимый признак сходимости ряда в данном случае выполняется,

нельзя утверждать сходимость такого ряда.

На самом деле этот ряд расходится. В литературе его называют гармоническим.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Подберем для сравнения сходящийся ряд

(начиная со второго члена это бесконечная убывающая геометрическая прогрессия); но члены данного ряда не больше соответствующих членов сходящегося ряда; поэтому наш ряд также сходится.

Задача 6.

Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Построить многоугольник распределения вероятностей. Найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Возможные значения случайной величины X	1	2	3	4	5
Вероятности значений случайной величины X	0,1	0,3	0,4	0,15	0,05

Решение.

1. Построение многоугольника распределения вероятностей показано на рисунке ниже.

Рис. 1. Многоугольник распределения вероятностей

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяем по формуле

3. Среднее квадратическое отклонение: