Описание физической среды с вязкими свойствами. Физическое обоснование учета вязкости среды. Параметры, описывающие вязкость. Модельная система уравнений.
В лагранжевой постановке система уравнений «идеальной газовой среды» выражается системой
Рассмотрим, как скажется на виде уравнений учет вязкости. В одномерном случае тензор напряжений вырождается в скаляр. Т.е. учет вязкости формально сводится к замене уравнения состояния
на
где
— коэффициент вязкости.
Однако система
уравнений приобретает другой тип —
параболический; но при
всюду, где
,
ограничено, она превращается в
гиперболическую систему, описывающую
модель идеального газа.
Описание физической среды с вязкими свойствами. Применимость моделей идеального и «реального» газов. Особенности численной постановки. Применение вязкой модели, как способа сглаживания разрывов.
В лагранжевой постановке система уравнений «идеальной газовой среды» выражается системой
Учет вязкости формально сводится к замене уравнения состояния
на
где — коэффициент вязкости.
Однако система уравнений приобретает другой тип — параболический.
Очевидно, что при всюду, где , ограничено, она превращается в гиперболическую систему, описывающую модель идеального газа. Т.е. в общем случае модель идеального газа будет пределом более точной - вязкой модели при стремлении параметра возмущения к нулю. Это ставит под сомнение целесообразность использования модели идеального газа. Однако дело в том, что в процессах, для описания которых эта модель используется, коэффициенты вязкости настолько малы, что эффективная толщина слоя «размазывания» разрыва оказывается (в характерных для задачи масштабах) ничтожной. В частности, при использовании численных методов для адекватного описания такого решения потребуются недостижимо малые значения параметров дискретизации при отсутствии практической необходимости столь точного описания.
Однако существует еще один аспект учета вязкости. Ее свойство - сглаживать разрыв может быть использовано для построения эффективного численного алгоритма. Завысим (сознательно) коэффициент вязкости в области больших градиентов и минимизируем его в области малых, положив, например,
при
и
в противном случае (в зоне ударной волны
градиент скорости всегда отрицательный).
Константа
в этой формуле порядка единицы.
Выражение для решения уравнения скачка при наличии вязкости
(где через
,
обозначены корни квадратного трехчлена,
возникающего в правой части)
получим уравнение
решение которого
дает плавный
переход от
к
на интервале
.
Ширина зоны перехода оказывается
конечной, порядка нескольких шагов
расчетной сетки
,
и не зависящей от величины разрыва
-
.
Это позволяет полностью контролировать
процесс фиктивного сглаживания ударных
волн. Такой метод называется – метод
искусственной вязкости.
Модификация численного алгоритма сводится ко внедрению логической процедуры, реализующей подстановку
при и в противном случае
Таким образом, сознательно искажая решение в зоне разрыва, метод искусственной вязкости практически без усложнения расчетной схемы позволяет решать задачи, которые при обычном подходе потребовали бы существенного расширения алгоритма (при этом, помимо расчета разрывов, требуется большая работа по классификации возникающих ситуаций).