18

Математическая физика. Вопросы к государственному экзамену

1. Математическая теория поля. Способы задания полей. Скалярное поле.

Если каждой точке области соответствует определенное значение некоторой величины (числовой или векторной), то говорят, что в этой области задано поле.

Если в каждой точке рассматриваемой области задана величина, принимающая числовые значения, то поле называется скалярным.

Пусть область , в которой задано скалярное поле, расположена в трехмерном пространстве, и в этом пространстве дана декартова система координат ( — декартовы координаты точки, лежащей в этом пространстве). Тогда задание скалярного поля в области равносильно заданию функции трех переменных

или

принимающей числовые значения во всех точках , принадлежащих области .

Пусть в области задано скалярное поле .

Множество всех тех точек из области , в которых величина принимает одно и то же числовое значение , называется поверхностью уровня, соответствующей числу .

Пусть — некоторая линия, лежащая в области , и на этой линии выбрано определенное направление (т. е. является направленной линией, или направленной дугой).

Производной скалярного поля по направленной дуге в точке , лежащей на этой дуге, называется предел, к которому стремится выражение

когда точка , двигаясь по дуге , стремится к (здесь под символом подразумевается длина дуги , взятая со знаком «плюс», если точка следует после точки (в соответствии с выбранным направлением на кривой), или со знаком «минус», если предшествует точке .

Если дуга является гладкой (т. е. она имеет касательную в каждой точке, и эта касательная изменяется непрерывно при движении точки по кривой), то для вычисления в точке существует формула

где — вычисляются в данной точке , — определятся как косинусы углов, образованных касательным вектором в точке и осями координат.

Производная по дуге в точке не зависит от вида дуги , а зависит только от направления касательного вектора т к дуге в точке .

Производной по направлению вектора в точке называется производная по любой направленной дуге , проходящей через точку и касающейся в этой точке вектора (причем так, чтобы направление, выбранное на кривой в точке , совпадало с направлением вектора ).

Градиентом скалярного поля в точке называется вектор, в направлении которого производная скалярного поля в точке является наибольшей; модуль этого вектора равен максимальной производной в точке .

2. Математическая теория поля. Способы задания полей. Векторное поле. Поток векторного поля.

Если каждой точке области соответствует определенное значение некоторой величины (числовой или векторной), то говорят, что в этой области задано поле.

Задание векторного поля в области равносильно заданию всех трех проекций переменного вектора на оси координат; эти проекции являются числовыми функциями от координат переменной точки области ; поэтому векторное поле можно задать равенством

где — скалярные (числовые) функции от трёх переменных

Пусть в области расположена гладкая поверхность (т. е. такая поверхность в каждой точке которой определена касательная плоскость, и эта плоскость изменяется непрерывно при движении точки по поверхности). Выберем на этой поверхности определенную сторону, которую назовем положительной стороной, а .противоположную сторону — отрицательной стороной. Такую .поверхность назовем ориентированной. Буквой обозначим единичный вектор нормали к поверхности, причем этот вектор .направлен от отрицательной к положительной стороне поверхности.

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл (по поверхности ) от скалярного произведения .

Обозначая поток через (или через ), будем иметь согласно определению

Если поле задано равенством декартовыми координатными функциями, то

где — углы, составленные вектором нормали с осями координат.

Определение потока и формула для его вычисления сохраняются не только для гладкой, но и для кусочно-гладкой поверхности (т. е. такой, которая может быть разбита на конечное число гладких поверхностей).

Если поверхность замкнута, то обычно ее ориентируют так, что внешняя сторона поверхности является положительной, а внутренняя — отрицательной; таким образом, если поверхность замкнута, то под вектором в равенстве (2) подразумевается вектор внешней нормали.

Если поле является полем скоростей движущейся в области жидкости и если это поле стационарно (т. е. если вектор скорости зависит только от положения точки, но не зависит от времени ), то поток равен количеству жидкости, протекшей за единицу времени через поверхность (в направлении от отрицательной к положительной стороне этой поверхности). В частности, если — замкнутая поверхность, ограничивающая область , то поток через равен количеству жидкости, вытекающей из через поверхность (таким образом, если , то из вытекает больше жидкости, чем втекает в область ; если же , то внутрь области втекает больше жидкости, чем вытекает из нее).