2. Микроскопическое описание физической среды. Физическая интерпретация микроскопической среды. Понятие координатно-импульсного пространства. Основные уравнения. Уравнение Больцмана.

Пусть — функция распределения вещества в шестимерном координатно-импульсном пространстве.

При таком описании мы допускается неоднозначность импульсов (скоростей) в каждой точке пространства (тепловой разброс скоростей). Поэтому оставим физикам обоснование такой возможности и рассмотрим эту модель с сугубо математической точки зрения.

Очевидно, что интеграл

по всему трехмерному импульсному подпространству определяет концентрацию вещества, и, следовательно,

- это количество вещества (число частиц) в объеме .

Т.е. микроскопическое описание вводит в сплошное конечные объемы (микрообъемы), взаимодействие которых и подлежит описанию. Отсюда название. Важно усвоить, что эти микрообъемы это описательный прием. Они не имеют никакого отношения ни к атомам и молекулам с одной стороны, ни к численной дискретизации с другой.

Если число таких частиц — величина сохраняющаяся, то функция распределения должна удовлетворять уравнению непрерывности, которое в данном случае запишется в виде

|где — обычная скорость ( в нерелятивистском пределе, — (масса покоя частицы) число, характеризующее сорт вещества), a — скорость изменения импульса , т. е. сила. Она может определяться как полем, в котором движется вещество, так и другими факторами.

Пусть сила — заданная функция. Тогда уравнение непрерывности — вполне определенное уравнение, и для него может быть поставлена эволюционная задача.

Это простейший но не единственный вариант микроскопического описания среды. Усложняя картину, можно учесть большее количество характеристик движения элементов среды (не только положение и импульс) и увеличить тем самым размерность пространства состояний. Кроме того, сила может зависеть от самой функции распределения и ее производных. Наконец, могут нарушаться некоторые допущения, сделанные при выводе основного уравнения непрерывной среды. Так, если учесть эффект столкновений частиц, то в уравнении появится правая часть (так называемый интеграл столкновений , и оно примет вид

Это уравнение называется кинетическим уравнением Больцмана. Для его решения конкретный вид оператора должен быть уточнен. Он зависит от физической постановки.

2. Микроскопическое описание физической среды. Численная постановка уравнений микроскопической среды.

Построение численного алгоритма производится путем дискретизации объектов задачи.

Ограничимся эйлеровым описанием, отражаемым уравнением

Преобразование уравнения к численному виду не вызывает принципиальных затруднений

Введем дискретные координаты

где — шаги расчетной сетки (параметры дискретизации), а пробегают целочисленный ряд значений.

Каждой точке соответствует скаляр функции распределения и две вектор-функции и .

От дифференциального уравнения перейдем к его дискретному аналогу

где —дискретный аналог градиента по координате ,

—дискретный аналог градиента по координате .

Если значения , и до некоторого известны, то конечно-разностные соотношения позволяют получить их значения на следующем, -м слое по времени для всех внутренних точек области расчета. Граничные условия доставляют значения в граничных точках.

Для начала рекуррентного процесса требуются значения на двух слоях. Начальные условия дают значения только на нулевом. Значения первого слоя следует вычислить с помощью какого-либо другого алгоритма, либо просто перенести с нулевого (совершив ошибку порядка

2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ СРЕДЫ. Анализ уравнения Больцмана. Понятие средней (макроскопической) скорости и теплового разброса скоростей. Гидродинамическая система уравнений описания среды.

Описание движения среды с помощью уравнения Больцмана

для функции распределения в шестимерном координатно-импульсном пространстве является хотя и самым общим, но в большинстве случаев излишне детальным и громоздким.

Совершенно незачем контролировать каждый микрообъем независимым образом игнорируя тот факт, что все они принадлежат чему-то общему. В реальных задачах, как правило, достаточно знать среднюю (макроскопическую) скорость среды и оценку теплового разброса скоростей (степень отклонения от среднего значения в данной точке), характеризуемого величиной внутренней энергии (температурой). Такое гидродинамическое описание можно получить, исходя из микроскопического, хотя исторически оно было сформулировано задолго до появления уравнения Больцмана.

Ограничимся нерелятивистским приближением и будем считать функцией координат и скоростей: . Кроме того, для сокращения формул пренебрежем полем, приняв .

Уравнение Больцмана

указывает на две причины изменения в данной точке координатно-скоростного пространства:

• приход в эту точку вещества со своей скоростью (второе слагаемое в левой части) и

• «перемещение» частиц в скоростном подпространстве в результате столкновений их (правая часть).

Последние происходят так, что количество частиц, их общий импульс и общая энергия не меняются. Это естественное свойство интеграла столкновений .

Вместо концентрации следует использовать отличающуюся от нее лишь множителем (масса частицы) плотность :

Микроскопическую скорость определим, естественно, равенствами

Используя тепловую скорость , определим внутреннюю энергию :

тензор напряжений :

и вектор плотности потока тепла :

Умножая исходное уравнение на и интегрируя по всему трехмерному скоростному подпространству, получим, учитывая выражения для плотности и микроскопической скорости,

Интеграл от равен нулю, поскольку количество частиц до и после акта столкновения одинаково, как и общая масса их.

Умножим исходное уравнение на и проинтегрируем. При этом заменим переменную интегрирования на и используя выражение для микроскопической скорости и тензора напряжений, и учтя, что среднее значение тепловой скорости получим

Интеграл от равен нулю, так как суммарный импульс частиц, участвующих в столкновении, сохраняется.

Умножая исходное на и интегрируя, получаем с учетом определений для внутренней энергии, тензора напряжений и плотности теплового потока

Интеграл от равен нулю в силу сохранения энергии при столкновениях.

Три последних уравнения – это и есть основная система уравнений гидродинамического описания среды. Каждое из уравнений, входящих в гидродинамическую систему, имеет дивергентный вид и выражает, соответственно, закон сохранения массы, импульса и энергии.

Система выглядит громоздкой по сравнению с кинетическим уравнением с микроскопическим описанием. Однако это усложнение окупается уменьшением размерности пространства с шести до трех.