Описание физической среды, основанное на сплошности. Эйлерово и Лагранжево описание сплошной среды.
Уравнение непрерывности может быть выражено формулой
Физически оно отражает следующий факт. Единственной причиной изменения содержания физического объема может быть только протекание через границы. Это описание основано на использовании функций от координат точек. Такое описание называют эйлерово. Однако оно не всегда удобно. Возможно другое, лагранжево описание, использующее координаты, сцепленные с веществом.
Лагранжева
координата
частицы постоянна, а положение частицы
в пространстве становится функцией
времени
.
Переход от одного описания к другому
можно представить формулой.
Под
-функцией
векторного аргумента мы понимаем
произведение
-й
функций от каждой компоненты.
Подстановка этого
выражения в уравнение для
получим
очевидное равенство
отражающее смысл лагранжевой координаты . Наконец, подставляя это выражение в основное уравнение непрерывной среды получаем соотношение
которое выполнено, если
Мы употребили
символ
для обозначения дифференцирования по
времени при постоянном
.
Описание физической среды, основанное на сплошности. Построение численного алгоритма решения уравнений для сплошной среды
Построение численного алгоритма производится путем дискретизации объектов задачи.
Ограничимся эйлеровым описанием, отражаемым уравнением
Преобразование уравнения к численному виду не вызывает принципиальных затруднений
Введем дискретные координаты
где — шаги расчетной сетки (параметры дискретизации), а пробегают целочисленный ряд значений.
Каждой точке
соответствует скалярно-векторная пара
и
.
От дифференциального уравнения перейдем к его дискретному аналогу
где —дискретный аналог градиента .
Если значения и до некоторого известны, то конечно-разностные соотношения позволяют получить их значения на следующем, -м слое по времени для всех внутренних точек области расчета. Граничные условия доставляют значения в граничных точках.
Для начала рекуррентного процесса требуются значения на двух слоях. Начальные условия дают значения только на нулевом. Значения первого слоя следует вычислить с помощью какого-либо другого алгоритма, либо просто перенести с нулевого (совершив ошибку порядка .
Описание физической среды, основанное на сплошности. Уравнение неразрывности как выражение закона сохранения. Универсальность постановки задачи о сплошной среде.
В эйлеровой постановке уравнение непрерывности может быть выражено формулой
Это уравнение явилось следствием сохранения количества вещества. По этой причине говорят, что оно выражает закон сохранения. Если проинтегрировать это уравнение по фиксированному объему, то, прочтя справа налево, получим интегральное равенство
которое также называют законом сохранения.
Смысл этого термина заключается в утверждении, что единственной причиной изменения количества вещества в объеме (первое слагаемое в ) является поток вещества через поверхность (второе слагаемое), определяемый лишь ситуацией на границе.
Можно показать, что уравнения такого типа может описывать поведение и других физических субстанций (энергия, импульс), выражая их законы сохранения. Формально соотношение есть следствие лишь «дивергентности» уравнения непрерывности, т. е. того, что оно записывается как сумма производных.