2. Электродинамическое описание физической среды. Численное решение уравнений электродинамики. Численный аналог уравнений Максвелла для метода конечных разностей.

Эволюция электромагнитного поля, в основном, определяется парой векторных уравнений, которые при соответствующем выборе единиц измерения могут быть записана в виде

Для численного интегрирования системы Максвелла можно предложить следующий метод.

Область расчета заполняем точками с координатами

где — шаги расчетной сетки (параметры дискретизации), а пробегают целочисленный ряд значений.

Каждой точке соответствует пара векторов и .

От системы дифференциальных уравнений перейдем к ее дискретному аналогу

где —дискретный аналог градиента , а операторы , определяются формулами:

Если значения и до некоторого известны, то конечно-разностные соотношения позволяют получить их значения на следующем, -м слое по времени для всех внутренних точек области расчета. Граничные условия доставляют значения в граничных точках.

Для начала рекуррентного процесса требуются значения на двух слоях. Начальные условия дают значения только на нулевом. Значения первого слоя следует вычислить с помощью какого-либо другого алгоритма, либо просто перенести с нулевого (совершив ошибку порядка .

2. Описание физической среды, основанное на сплошности. Физическое описание задачи. Роль функции распределения.

В отличие от электромагнитного поля, для материи второго вида — вещества — существует много моделей.

Одно из наиболее простых - фундаментальное описания состояния сплошной (непрерывной) среды с помощью функции распределения . Физический смысл имеет лишь интеграл от по любому конечному объему. Он дает количество вещества в этом объеме — это и есть определение функции распределения.

Однако такая модель находится в серьезном противоречии с устоявшимися взглядами на физику вещества. Поскольку считается, что материя дискретна (состоит из элементарных частиц, молекул и т. п.), то количество материи измеряют количеством частиц. При этом описание с помощью функции распределения понимается как непрерывная модель материи. Поэтому термин «частица» употреблен здесь как некоторая абстракция — бесконечно малое количество вещества в окрестности точки пространства, а не частицу в буквальном смысле.

2. Описание физической среды, основанное на сплошности. Уравнение неразрывности сплошной среды.

Пусть имеется среда с заданным законом движения: вещество, находящееся в момент в точке , имеет скорость . Выделим некоторое количество вещества, заполняющее в начальный момент объем , и будем следить за его перемещением. По определению это количество находится по формуле

Дифференцируя по времени и учитывая, что , имеем

где — элемент поверхности объема. Второе равенство следует из известной формулы интеграла от дивергенции.

Так как выделенное отмеченное количество вещества не меняется, то , и в силу произвольности объема функция распределения удовлетворяет соотношению

— основному уравнению непрерывной среды. Его называют уравнением непрерывности. Оно является простейшим уравнением в частных производных.

Физически оно отражает следующий факт. Единственной причиной изменения содержания физического объема может быть только протекание через границы.