Математическая теория поля. Векторное поле. Дифференциальные операторы второго порядка.
Действие вычисления градиента скалярного поля, а также действия вычисления дивергенции или ротора векторного поля называются дифференциальными операциями первого порядка.
Некоторые операции второго порядка.
Пусть
и
— векторное и скалярное поля, для которых
определены и непрерывны всюду в области
следующие поля:
,
,
.
Пусть для этих последних полей всюду в
области
определены и непрерывны градиент (для
скалярного поля
,
дивергенция и ротор (для векторных полей
и
).
Тогда над полем можно произвести следующие дифференциальные операции второго порядка:
а над скалярным полем — следующие:
Интересно, что две из перечисленных операций приводят к тождественному нулю:
Операции
,
и
,
вообще говоря, не приводят к тождественному
нулю; они порождают новые (скалярные
или векторные) поля. Из них особенно
важным является поле, порождаемое
операцией
;
оно
называется лапласианом поля
и
обозначается
Если поле
таково, что
всюду в области
,
то
называется гармонической функцией в
области
(или
гармоническим скалярным полем в
).
Если поле и задано в декартовой системе координат функцией , то лапласиан этого поля можно вычислить по формулами
Математическая теория поля. Векторное поле. Формальный оператор Гамильтона. Потенциал векторного поля.
Легко заметить,
что операции получения
в сущности
сводятся применению одного и того же
универсального оператора, который
называют – оператор Гамильтона или
Гамильтониан. В декартовых координатах
он имеет вид
учтя это для векторного поля и скалярного можно записать
Пусть в области
задано векторное поле
;
его потенциалом называется скалярное
поле
такое, что
(всюду в
области
).
Не всякое векторное поле имеет потенциал Если поле имеет потенциал, то оно называется потенциальным.
Для того чтобы поле , имеющее непрерывный ротор всюду в односвязной области , было потенциальным в этой области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым (т. е. чтобы его ротор тождественно равнялся нулю в области ).
Если поле потенциально в односвязной области то его потенциал можно найти по следующей формуле
где
— какая-либо (фиксированная) точка
области
,
а
— переменная точка области
;
путь интегрирования от точки
к точке
может быть любым (лишь бы он не выходил
за пределы области
).
Электродинамическое описание физической среды. Физическое описание задачи. Модельная система уравнений электродинамики (уравнения Максвелла) и их физическая интерпретация.
Электромагнитное
поле — это пара вектор-функций
и
,
удовлетворяющих системе уравнений
Максвелла.
При соответствующем выборе единиц измерения эта система может быть записана в виде
Здесь
— соответственно плотности заряда и
тока — заданные функции, связанные
соотношением
Третье и четвертое уравнения являются no-существу условиями на начальные данные, т. е. на класс решений. Продифференцировав эти уравнения по времени, получим тождества. Т.е. эволюция электромагнитного поля определяется системой двух векторных уравнений или шести скалярных уравнений для шести компонент поля.
В случае ограниченной области требуется еще рассмотреть условия на границе.