Схема исследования функции y = f(x) для построения

эскиза ее графика.

Схема

Пример

1. Область определения функции

(см. табл. 1)

Область определения:

2. Четность, нечетность (табл. 2),

периодичность (табл. 3)

Функция ни четная, ни нечетная и не периодическая

3. Точки пересечения с осями координат (если можно найти)

y = 0;

4. Производная и критические точки (табл. 4)

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значение функции в этих точках) (табл. 4)

6. Поведение функции на концах области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, и наклонные)

(табл. 5)

П ри слева

Следовательно,

При справа x = - 4

вертикальная асимптота

Так как

то при

тогда

т.е. y = x - 9 - наклонная асимптота

7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба (если они существуют) и значение f(x) в точках перегиба (табл. 6)

П оскольку , то знак второй производной может меняться только в точке x = -4

8. Если необходимо, найти контрольные точки, уточняющие поведение графика

8. На основании проведенного исследования строим эскиз графика функции y=f(x)

Как найти область определения функции

№

Вид функции

Ограничения

(f(x) и g(x)

существуют!)

Формулировка

1

Знаменатель дроби не равен нулю

2

Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение

3

Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение

4

(a >0)

В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное 1

5

Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное (k – целое)

6

Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное (k – целое)

7

Под знаком арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице

8

9

а) - натуральное

x – любое число

б) - целое отрица-тельное или нуль

в) - положитель-ное не целое число

г) - отрицатель-ное не целое число

Четные и нечетные функции

Четная функция

Нечетная функция

Определение. Функция f называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого X из ее области определения

Определение. Функция f называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого X из ее области определения

Свойства

Свойства

График четной функции симметричен относительно оси 0y

График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Примеры четных функций

Примеры нечетных функций

Периодические функции

Определение. Функция называется периодической с периодом , если для любого x из области определения

Свойства

1. Если число Т период функции f , то число k*T также является периодом этой функции

2. Если функция y=f(x) периодическая с периодом Т, то функция y=Af(kx+b) также периодическая и ее период равен (A, b, k – постоянные числа и )

3. Если функция y=f(x) периодическая с периодом Т, то сложная функция (функция от функции) y=φ(f(x)) также периодическая с периодом Т (хотя, возможно, этот период и не является наименьшим по абсолютной величине)

4. Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить график на отрезке длиной Т, а далее – параллельно перенести этот график вдоль оси 0х на расстояние влево и вправо

Примеры периодических функций

y=sin(x)

T=2π

y=cos(x)

T=2π

y=tg(x)

T=π

y=ctg(x)

T=π

y=sin(3x)

T=

y={x}-

дробная часть х

T=1

y=|cos(x)|

T=π

y=3

T-любое число (Т≠0)

Практические приемы нахождения периодов функций

1. Найти период каждой составляющей функции, которая входит в запись заданной функции.

2. Подобрать интервал (если возможно), внутри которого каждый из найденных периодов укладывается целое число раз. Длина этого интервала и будет периодом заданной функции (хотя, возможно, и не наименьшим по абсолютной величине).

Пример: f(x) = sin(4x)+tg(3x);

Применение производной к исследованию функции

Монотонность и постоянство функции

Достаточное условие

возрастания функции

Достаточное условие

возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a;b) ƒ ́(x)>0,

то функция ƒ(x)

возрастает

на этом интервале

Если в каждой точке интервала (a;b) ƒ ́(x)<0,

то функция ƒ(x)

убывает

на этом интервале

З амечание. Эти условия являются только достаточными,

но не являются необходимыми условиями

возрастания и убывания функции. Например, функция - возрастающая

на всей области определения, хотя в точке

ее производная равна нулю.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции

Функция постоянна на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала.

Экстремумы (максимум и минимум) функции

Точка максимума

Точка минимума

Определение

Точка из области

определения функции

называется точкой максимума

для этой функции, если

найдется

- окрестность

( ) точки ,

т акая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

Определение

Точка из области

определения функции

называется точкой минимума

для этой функции, если

найдется

- окрестность

( ) точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство

- точка максимума

- точка минимума

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значения функции в точках максимума и минимума называются

экстремумами функции (максимумом и минимумом функции)

-максимум

-минимум

Критические точки

Определение. Внутренние точки области определения функции,

в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Необходимое условие экстремума

Достаточное условие экстремума

В точках экстремума производная функции

равна нулю или не существует

- точка экстремума

Если функция непрерывна в точке и производная меняет знак в точке , то - точка экстремума функции

в точке знак меняется с «+» на «-» - точка максимума

в точке знак меняется с «-» на «+» точка минимума

Пример графика функции , имеющей экстремумы

( - критические точки)

Исследование функции на монотонность и экстремумы

Схема

Пример

1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна

Область определения:

Функция непрерывна в каждой точке своей области определения

2. Найти производную

3. Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых или не существует

4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения.

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума

6. Записать требуемые результаты исследования (промежутки монотонности и экстремумы)

возрастает при и

при

убывает при

Точки экстремума:

Экстремумы:

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывное на отрезке

Свойства

Если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает свое наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка

Примеры

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции,

непрерывной на отрезке

Схема

Пример

Найти наибольшее и наименьше значение функции:

при

1. Найти производную

2. Найти критические точки

( или не существует)

при х = -4 и при х = 2

3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку

Заданному отрезку [1;3] принадлежит только критическая точка х = 2

4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка

5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Определение. Асимптота кривой – это прямая,

к которой неограниченно приближается кривая

при удалении ее в бесконечность.

Вертикальные асимптоты (х = а)

- вертикальная

асимптота Вертикальная асимптота х = а может быть в точке а, если точка а ограничивает открытие промежутки области при х→а f(x) → ∞ определения данной функции и возле точки а функция уходит в бесконечность

Примеры вертикальных асимптот

О.О.

При х→0 (справа) y→+∞

При х→0 (слева) y→-∞

X = 0 – вертикальная асимптота

О.О.

При х→0 (справа) y→-∞

X = 0 – вертикальная асимптота

О.О. Z

При х→ (слева) y→+∞

При х→ (справа) y→-∞

X = - вертикальная асимптота

Наклонные и горизонтальные асимптоты

1. Если f(x) – дробно-рациональная функция, в которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя, то выделяем целую часть и используем определение асимптоты.

Пример 1

Пример 2

При т.е. , тогда

- наклонная асимптота (кроме того

вертикальная асимптота – см. график)

При т.е. , тогда

- горизонтальная асимптота (кроме того

вертикальная асимптота – см. график)

2. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптот y = kx + b могут быть получены с использованием формул:

Для примера 1

Для примера 2

- наклонная асимптота.

- горизонтальная асимптота.

ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Понятие второй производной

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией от x. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от и обозначают (или )

Пример.

Понятия выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции

Пусть функция определена на промежутке (а; в), а в точке имеет конечную производную.

Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную.

Если в некоторой окрестности точки М все точки кривой графика функции (кроме самой точки М) лежат выше касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке М выпуклая (точнее, строго выпуклая). Также иногда говорят, что в этом случае график функции направлен выпуклостью вниз.

Если в некоторой окрестности точки М все точки кривой графика функции (кроме самой точки М) лежат ниже касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке М вогнутая (точнее, строго вогнутая). Также иногда говорят, что в этом случае график функции направлен выпуклостью вверх.

Если точка оси абсцисс обладает тем свойством, что при переходе аргумента через нее кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то точка называется точкой перегиба функции , а точка кривой - точкой перегиба графика функции

- точка перегиба функции

В некоторой окрестности точки : при кривая ниже касательной, а при кривая выше касательной (или наоборот)

Достаточные усовия выпуклости и вогнутости функции,

которая имеет первую и вторую производную при

Условие выпуклости

Условие вогнутости

Если в каждой точке интервала то на интервале график функции направлен выпуклостью вниз (выпуклый)

Если в каждой точке интервала то на интервале график функции направлен выпуклостью вверх (вогнутый)

Замечание:

Эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми.

Например, график функции направлен выпуклостью вниз на всей числовой прямой,

хотя в точке ее вторая производная равна нулю.

Нахождение точек перегиба функции, которая имеет вторую производную на заданном интервале

Необходимое условие

Достаточное условие

В точке перегиба функции ее вторая производная равна нулю или не существует

Если функция имеет первую и вторую производную на интервале и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку , то точка является точкой перегиба функции

Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Схема

Пример.

1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна

Область определения: Функция непрерывна в каждой точке своей области определения

2. Найти вторую производную

3. Найти внутренние точки области определения, в которых или не существует

существует на всей области определения

при x = -1, x = 3

4. Отметить найденные точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения

5. Записать требуемый результат исследования (интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба)

В интервале и в интервале график функции направлен выпуклостью вниз , а в интервале график функции направлен выпуклостью вверх . Точки перегиба: x = -1 и x = 3 (в этих точках меняет знак.