Конформные отображения

Дробно-линейное отображение (окружность в окружности) представляется 3-мя точками: тогда

разность где встречается ∞ заменяется единицей.

1. №220. Написать какую-либо дробно-линейную функцию, которая переводит круг в нижнюю полуплоскость.

Решение.

На границе данного круга выберем три точки, например, z₁=0, z₂=2, z₃=-2i. на окружности задается направление обхода, при котором круг оказывается справа.

Выберем теперь в плоскости w на действительной оси (которая является границей нижней полуплоскости) три точки w₁, w₂, w₃ таким образом, чтобы при соответствующем обходе границы нижняя полуплоскость оставалась справа. Можно взять, например, w₁=0, w₂=1, w₃=∞. По выбранным трем парам соответственных точек , используя формулу (7.4), запишем искомую дробно-линейную функцию:

- искомое отображение. Это не единственное решение, т.к. точки z₁, z₂, z_3­, w₁, w₂, w₃ – произвольные.

2. Отобразить полосу на верхнюю полуплоскость:

   1. Рассматривая отображение w₁=z-3i, получим полосу

   2. с помощью отображения (полоса 0<y<h (h<2π) преобразуется в угол раствора h с вершиной в начале координат)

преобразует полосу в

3. наконец, отображение w₃=w₂ (угол в угол ). В нашем случае

1. Найти функцию, отображающую область на область .

   1. осуществим поворот вокруг нуля на , это осуществляет функция

Следовательно, при данном повороте угол преобразуется в .

2. Рассмотрим отображение преобразующее угол в угол . В нашем случае

1. Отобразить угол раствора с вершиной в точке z=2+i ограниченный лучами Arg (z-2-i)=0+2kπ, на нижнюю полуплоскость.

   1. (переводит угол с вершиной в начале координат)

   2. угол в верхней полуплоскости

   3. - искомое отображение.