![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Матрицы.
- •1.2.2. Свойства операций сложения (вычитания) матриц:
- •1.2.3. Умножение матрицы на число.
- •1.3. Умножение матриц.
- •1.3.3. Пример.
- •1.4.10.Свойства определителей.
- •1.5. Обратная матрица.
- •1.6.3. Элементарными преобразованиями над матрицей называются преобразования вида:
- •Тема 2. Системы линейных уравнений. (Лекции№3-4)
- •Основные определения.
- •2.3. Совместность систем алгебраических уравнений.
- •Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •2.5.3. Последовательность элементарных преобразований расширенной матрицы системы.
- •Решение однородных систем линейных уравнений.
- •Решение систем однородных линейных уравнений:
- •Контрольное домашнее задание №3. Тема: Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Векторная алгебра. (Лекции№5-6)
- •3.1. Общие определения
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Действия над векторами в координатной форме
- •3.4. Базис на плоскости и в пространстве.
- •3.4.1. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •3.4.4. Выводы:
- •3.4.11. Расстояние между двумя точками в пространстве.
- •3.4.12. Деление отрезка в заданном отношении.
- •3.5. Скалярное произведение векторов.
- •3.5.2. Свойства скалярного произведения:
- •3.6. Векторное произведение двух векторов.
- •3.7. Смешанное произведение трех векторов.
- •3.8. Практическое занятие№4. «Нелинейные операции с векторами»
Решение однородных систем линейных уравнений.
2.6.1.
Однородной системой трех линейных
уравнений с
3 неизвестными называется система вида:
(13)
Однородная система всегда совместна, так как очевидно, что x=0, y=0, z=0 образуют решение системы. Здесь могут быть 2 варианта:
Если r (A)=n, то нулевое решение будет единственным.
Если же r (A)<n, то существует бесчисленное множество решений (ненулевых), что следует из теоремы Кронекера-Капелли. Переменные как и при решении методом Гаусса разделяются на базисные и свободные. Формула, выражающая зависимость базисных переменных от свободных, называется общим решением системы. Свободным переменным можно придавать любое значение, например числа К1, К2 и так далее. Значения базисных переменных, полученные при подстановке конкретных значений свободных, называются частными решениями системы.
Лемма
1. Для того,
чтобы однородная система имела ненулевое
решение необходимо и достаточно, чтобы
определитель системы был равен нулю.
Лемма 2.
Если в однородной системе число уравнений
m
меньше числа переменных n,
то система
имеет ненулевое решение.
2.6.2.
Пример.
Решить систему линейных уравнений
.
Решение.
Составим и исследуем матрицу системы.
1) Вычтем из третьей строки вторую.
2)
Переставим первый и третий столбцы.
3)
Из второй строки вычтем первую.
r(A)=3
( n=3).
Вывод:
система определена и имеет единственное
решение: x=y=z=0.
2.6.3.
Пример.
Решить систему линейных уравнений
.
Решение.
Составим и исследуем матрицу системы:
Прибавим к третьей строке первую.
Прибавим к третьей строке вторую.
Вторую строку меняем местами с первой.
4)
Ко второй строке прибавляем удвоенную
первую.
r(A)=2
, (n=3).
Полученная
матрица эквивалентна системе двух
уравнений, из которой находим общее
решение системы
.
Следовательно, одну переменную z можно считать свободной и ее значения задавать произвольно, например, z=2, тогда можно найти базисные переменные x и y. Одно из частных решений x=y=z=2.
2.7. Практическое занятие №3. «Решение систем линейных алгебраических уравнений».
2.7.1. Решение по формулам Крамера.
Пример 1. Дано:
.
Решить
систему уравнений по формулам Крамера.
Решение. Найдем
определитель матрицы системы
.Так
как D
, то
решение системы существует и оно
единственно. Найдем D1,
D2 и D3:
,
,
.
Находим решение:
Ответ: (-2;1;1).
2.7.2. Примеры для самостоятельного решения систем уравнений
по формулам Крамера:
1).
, 2)
3).
, 4).
.
Ответы: (-7, 5), (2 3), (1, 2, 3), (2, –2, 3).
2.7.2. Решение систем уравнений матричным способом:
1).
, 2).
.
Ответы.(1, 2, 3), (–1,–2,–3).
Решение систем уравнений методом Гаусса.
Пример 3. Предприятие выпускает 3 вида продукции, используя сырье 3 видов. Числовые характеристики приведены в таблице:
Таблица. Расход видов сырья на 1 изд.
Вид сырья на 1 изд. |
№1
|
№2
|
№3
|
Запас сырья вес.ед.
|
№1 №2 №3 |
6 4 5 |
4 3 2 |
5 1 3 |
2400 1450 1550 |
Обосновать прогноз объема выпуска продукции каждого вида при заданных запасах.
Решение.
Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции каждого вида через x, y, z. Составим балансовые соотношения в виде системы 3 уравнений с 3 неизвестными:
.
Составим расширенную матрицу системы
уравнений:
=
=
=
.
Полученной
треугольной матрице эквивалентна
система уравнений:
,
откуда мы находим ответ прогноз выпуска
продукции: x=150,
y=250,
z=100.
2.7.4.
Решить
самостоятельно:
1).
,
2).
.
Ответы. 1) (1, 2, 3), 2) (1,–1,3).