- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Матрицы.
- •1.2.2. Свойства операций сложения (вычитания) матриц:
- •1.2.3. Умножение матрицы на число.
- •1.3. Умножение матриц.
- •1.3.3. Пример.
- •1.4.10.Свойства определителей.
- •1.5. Обратная матрица.
- •1.6.3. Элементарными преобразованиями над матрицей называются преобразования вида:
- •Тема 2. Системы линейных уравнений. (Лекции№3-4)
- •Основные определения.
- •2.3. Совместность систем алгебраических уравнений.
- •Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •2.5.3. Последовательность элементарных преобразований расширенной матрицы системы.
- •Решение однородных систем линейных уравнений.
- •Решение систем однородных линейных уравнений:
- •Контрольное домашнее задание №3. Тема: Системы линейных уравнений.
- •Тема 3. Векторная алгебра. (Лекции№5-6)
- •3.1. Общие определения
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Действия над векторами в координатной форме
- •3.4. Базис на плоскости и в пространстве.
- •3.4.1. Линейная зависимость и независимость векторов.
- •3.4.4. Выводы:
- •3.4.11. Расстояние между двумя точками в пространстве.
- •3.4.12. Деление отрезка в заданном отношении.
- •3.5. Скалярное произведение векторов.
- •3.5.2. Свойства скалярного произведения:
- •3.6. Векторное произведение двух векторов.
- •3.7. Смешанное произведение трех векторов.
- •3.8. Практическое занятие№4. «Нелинейные операции с векторами»
1.2.2. Свойства операций сложения (вычитания) матриц:
1. А+В=В+А 2. А+(В+С)=(А+В)+С 3. А+О=О+А=А, где О – нулевая матрица.
1.2.3. Умножение матрицы на число.
Произведением числа λ на матрицу А или матрицы А на число λ называется матрица, все элементы которой получены из исходной матрицы А умножением их на число λ. Пример: умножим матрицу на число λ=5: .
1.2.4. Свойства операции умножения матриц на число: 1. 1·А=А·1=А, 2. 0·А=А·0=0, 3. λ·(α·А)=(λ·α)А= λ·α·А, 4. (λ+α)·А= λ·А+α·А, где λ, α – числа.
Замечание. Разность двух матриц А и В одинаковых размерностей определяется формулой А–В=А+(–1) В.
1.2.5. Пример. Завод в октябре месяце поставил обувь в 2 города. Поставки можно охарактеризовать матрицами в первый город А1, во второй –А2:
,
в первых столбцах этих матриц количество коробок с мужской обувью, во вторых – женской, в третьих – детской. В первых строках матриц количество коробок с обувью черного цвета, во вторых – коричневого, в третьих – белого. На следующий месяц поступил заказ с увеличением поставки в первый город на 50%, а во второй на 25%. Найти матрицы, характеризующие суммарные поставки обуви в 2 города по месяцам.
Решение. Общая поставка обуви в 2 города в октябре определяется суммой: .
Поставка в ноябре в эти 2 города определяется как линейная комбинация матриц:
.
1.3. Умножение матриц.
1.3.1. Произведением матрицы Аmn порядка m на n на матрицу Вnp порядка n на p называется матрица Сmp порядка m на p, все элементы которой сij равны сумме парных произведений элементов i-той строки матрицы А на элементы j-того столбца матрицы В. (3)
Замечание. Из определения следует, что перемножать можно только такие матрицы А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Целой положительной степенью Аm квадратной матрицы А называется произведение m матриц А. 1.3.2. Пример. Умножить матрицу на матрицу . Решение.
. .
1.3.3. Пример.
Для ежемесячного подсчета выручки, для контроля за поставками и производством удобнее вести расчеты в матричной форме. Данные таблицы по объему продаж разных видов продукции по различным каналам сбыта представим в виде матрицы А, а цену разных видов продукции в виде матрицы–столбца Х. Вычислим произведение матриц АХ: ; .
. Мы получили матрицу, элементы которой несут информацию о выручке с продаж за месяц по каждому направлению сбыта.
1.3.4. Пример. Дано , . Вычислить 2А–3В, С=А2+В.
1.3.5. Свойства операции умножения матриц (предполагается, что соответствующие матрицы можно перемножать):
1. А · Е = Е · А = А, 2. А · (В · С) = (А · В) · С,
3. (А+В) · С= А · С + В · С. 4. ==.
5. В общем случае А·В≠В·А, однако есть матрицы, для которых А·В=В·А, такие матрицы называются перестановочными. Например, перестановочны любая квадратная матрица с единичной матрицей того же порядка, что отмечено в первом свойстве. Кроме того, перестановочныe диагональные матрицы одного порядка
6. Произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой матрицей. Пример: вычислим произведение матриц . При перемножении матриц получаем . 1.3.6. Операция транспонирования матрицы заключается в замене строк матрицы ее столбцами, столбцов строками с сохранением порядка следования ; AT= . Если А симметричная матрица, то Ат=А. 1.3.7. Свойства операции транспонирования: (Ат)т=А; (kА)т=kAт ; (А+В)т=Ат +Вт; (АВ)т=ВтАт.
1.4. Определители квадратных матриц 1.4.1. Для квадратной матрицы А вводится числовая характеристика, называемая определителем. Число строк матрицы определяет порядок определителя. Определитель матрицы второго порядка А2= вычисляется по формуле: det(А2) = . (4)
Определитель равен разности произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагоналях, он обозначается либо detA, либо . Значения индексов при элементах определителя имеют тот же смысл, что и в матрицах.
1.4.2. Пример. Вычислить определители второго порядка: А) . В)
1.4.3. Определитель матрицы 3-его порядка определяется по формуле (первый способ ) det(A3) = =a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31 -
–a31a22a13–a21a12a33–a32a23a11. (5)
1.4.4. Схема составления произведений по правилу треугольников (второй способ):
=
Рассмотрим диагональную схему вычисления определителя третьего порядка с дописыванием столбцов. К определителю справа приписываются два первых столбца, образуются три диагонали параллельные главной («падающие») и три параллельные побочной («растущие»). Произведения элементов определителя, стоящих на «падающих» диагоналях берутся со знаком плюс, а на «растущих» со знаком минус.
= a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31–
–a31a22a13–a21a12a33–a32a23a11.
1.4.5. Пример. Вычислить определитель .
Решение. Воспользуемся вторым способом вычисления определителя: =1 · (–1)·(–3) + 2·1·0 + (–3)42 –0·(–1)·(–3) – 2·1·1 – (–3)42 =1. 1.4.6. Минором Mij элемента aij квадратной матрицы An называется определитель, полученный вычеркиванием i- строки и j- столбца.
1.4.7. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы An называется соответствующий минор Mij , взятый со знаком плюс, если i+j=2k; и знаком минус, если i+j=2k+1. Aij=(-1)i+jMij (6)
1.4.8. Пример. Для матрицы вычислить минор М12 и алгебраическое дополнение А12.
Решение. M12= , А12=(–1)1+2 М12= –6. Ответ. М12=6, А12=–6.
Задание: вычислить самостоятельно А32 и А33.
1.4.9. Теорема разложения определителя. Определитель n-ого порядка вычисляется как сумма произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Приведем разложение определителя третьего порядка по элементам i-строки, а затем j-cтолбца.
ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + ai3 · Ai3. i=1,2,3;
a1j · A1j + a2j · A2j + a3j · A3j. j=1,2,3.