- •1. Актуальність проблеми надійності діючих систем криптографічного захисту інформації.
- •2. Загальна симметрична система секретного зв’язку за к. Шенноном. Основні терміни та визначення криптології.
- •3. Проблєма розподілу ключів та її вирішення за допомогою односпрямованих функцій з лазівками. Асиметричні криптосистеми.
- •4. Визначення та приклади основних та елементарних типів шифрів.
- •Гамма накладається блоками, порозрядно, по модулю два. Кожна комбінація гамми є результатом шифрперетвоння| деякого вхідного блоку за допомогою основного режиму, званого режимом простої заміни.
- •Робота в режимі простої заміни відповідає зашифровуванню| за допомогою блокового шифру. Вказаний блоковий шифр в літературі часто позначається як алгоритм гост.
- •5. Алгоритм гост 28147-89 в режимі простої заміни та режимі гамування зі зворотним зв’язком.
- •6. Алгоритм розв’язування нерівність першого степеня з одним невідомим. Формулювання китайської теореми про залишки.
- •7. Двочленні квадратичні порывняння. Властивості символу Лежандра.
- •8. Двочленні квадратичні порывняння. Властивості символу Якобі.
- •9. Побудова криптосистеми rsa. Ідея цифрового підпису.
- •10. Змішані криптосистеми. Протокол Діффі-Хєллмана узгодження ключів.
- •11. Порядки чисел за модулем. Доведення теорем Ейлера та Ферма.
- •12. Цифровий підпис Ель-Гамаля.
- •13. Лінійна двійкова рекурентна послідовність у якості гами. Генератор псевдовипадкових чисел ansi x9.17.
- •14. Тестування чисел на простоту. Імовірнісні та детерміновані тести. Тест на основі малої теореми Ферма.
- •15. Тест Соловея-Штрассена перевірки чисел на простоту.
- •16. Тест Рабина-Миллера перевірки чисел на простоту.
- •18. Визначення геш-функції. Побудова геш-функції, виходячи з блочного шифра.
- •19. Ключові системи потокових шифрів. Життєвий цикл ключів.
6. Алгоритм розв’язування нерівність першого степеня з одним невідомим. Формулювання китайської теореми про залишки.
Двочленною квадратичною нерівністю називається нерівність вигляду , де - невідомі лишки.
Ціле число а називається квадратичним лишком по модулю n, якщо нерівність вирішувана. Якщо нерівність вирішуваниа, то для складеного модуля кількість рішень, як правило, більше двох.
У загальному випадку, не тільки дане завдання, але навіть питання про вирішення квадратичної нерівності по складеному модулю, факторизація якого невідома, є невирішеною проблемою.
В той же час для модулів, що є простими числами, завдання легко піддається аналізу.
Визначення і властивості символу Лежандра. Хай .
Існують алгоритми для визначення, чи є дане число а квадратичним лишком по простому модулю чи ні. Один з алгоритмів пов'язаний з обчисленням значення т.з. символу Лежандра, який для непарного простого визначається так:
Значення називається квадратичним характером числа по модулю .
Основні властивості символу Лежандра.
;
Критерій Ейлера: ;
; ;
, ; .
Квадратичний закон взаємності Гауса: для будь-яких простих непарних чисел і виконується рівність . Символ Лежандра можна обчислити за допомогою наступної послідовності дій. (1) Якщо , то виділяємо співмножник ; (2) приводимо по модулю ; (3) розкладаємо в добуток степенів простих чисел, використовуючи мультипликативність| символу Лежандра: , потім видаляємо співмножники що є квадратами; (4) виділяємо двійки, наприклад, якщо , обчислюємо ; (5) для кожного непарного співмножника застосовуємо квадратичний закон взаємності (зменшуємо величини чисел, що беруть участь в обчисленнях); (6) при необхідності, переходимо до п.(1).
7. Двочленні квадратичні порывняння. Властивості символу Лежандра.
Двочленною квадратичною нерівністю називається нерівність вигляду , де - невідомі лишки.
Ціле число а називається квадратичним лишком по модулю n, якщо нерівність вирішувана. Якщо нерівність вирішувана, то для складеного модуля кількість рішень, як правило, більше двох.
У загальному випадку, не тільки дане завдання, але навіть питання про вирішення квадратичної нерівності по складеному модулю, факторизація якого невідома, є невирішеною проблемою.
В той же час для модулів, що є простими числами, завдання легко піддається аналізу.
Властивості символу Якобі.
Хай n непарне і має наступне канонічне розкладання .
Символ Якобі числа x по модулю n, при , визначається як добуток значень символів Лежандра . Він володіє практично всіма тими ж властивостями, що і символ Лежандра, але по значенню символу Якобі рівному одиниці, не можна стверджувати, що відповідне вирахування – квадратичне.
Для квадратичних лишків символ Якобі рівний одиниці. Отже, якщо , то - квадратичні лишки по модулю .
Хай - цілі, - непарні числа, великі одиниці.
Властивості символу Якобі наступні.
; ;
; , ;
; .
Крім того, має місце квадратичний закон взаємності Гауса: для будь-яких непарних чисел m>1 і n>1 виконується рівність .
Обчислення символу Якобі полягає у використанні його властивостей для зниження величин чисел, що беруть участь в обчисленнях.
На відміну від символу Лежандра, критерій| Ейлера відсутній.