1. Функции комплексной переменной. Непрерывность. Области и границы

Если х и у - действительные переменные, - мнимая единица, то переменная называется комплексной переменной. Действительную и мнимую части комплексной переменной Z обозначают .

Если каждому значению Z из множества Z поставить в соответствие одно или несколько значений другой комплексной переменной то комплексная переменная W называется функцией Z в области Z, и пишут

Функция называется однозначной, если каждому значению , ставится в соответствие только одно значение W, и многозначной, если несколько значений W.

Если - действительная часть функции W, - мнимая часть функции W, то функция записывается в виде суммы действительной и мнимой части.

(1.1)

Однозначная функция при имеет определенный предел с (z₀ и с – комплексные числа), если для всякого найдется такое число , что из неравенства следует неравенство . При этом пишут

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности и в самой этой точке и

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.

Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы функции были непрерывными в точке

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

РЕШЕНИЕ. Запишем функцию в виде (1).

Отсюда следует, что функции и непрерывны на плоскости значит данная функция W также непрерывна на всей комплексной плоскости Z.

Область D - это множество точек, обладающих свойством открытости (вместе с точкой области D принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке) и свойством связности (две любые точки D можно соединить ломаной, полностью лежащей в D).

Замкнутой областью D называют область D с присоединенной к ней границей Г.

Область D называют ограниченной, если она принадлежит некоторому кругу

Порядком связности ограниченной области D называется число связных частей, на которые разбивается её граница. Граница может состоять из замкнутых линий, разрезов и точек.

Границы области могут задаваться уравнениями кривых, которые рассмотрим на примере. Пример 2. Определить виды кривых:

a)

РЕШЕНИЕ

- уравнение окружности с центром в точке и радиусом R.

РЕШЕНИЕ Это уравнение равносильно уравнению.

— уравнение луча, выходящего из точки и образующего с положительным направлением оси X угол

РЕШЕНИЕ

В данном случае действительная и мнимая части комплексного переменного заданы параметрически. Исключим параметр t из уравнений

,

вычитая из первого уравнения второе:

Полученное уравнение определяет прямую линию.

2. Дифференцируемость и аналитичность

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Z. Функция дифференцируема в точке Z, если существует предел.

Этот предел называется производной функции в точке Z. Функция дифференцируемая в каждой точке области D и имеющая в этой области непрерывную производную называется аналитической в области D.

Функция аналитическая в точке, если является аналитической в некоторой окрестности точки Z0.

Для того чтобы функция была аналитической в области D, необходимо и достаточно одновременное существование в этой области непрерывных частных производных функций удовлетворяющим условиям Коши-Римана:

(1.2)

При выполнении условий (2) производная может быть вычислена по одной из формул

(1.3)

Для аналитических функций правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций комплексной переменной такие же, как для функций действительной переменной, что иллюстрирует следующий пример. Пример 3, Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости Z:

Таким образом,

3. Элементарные функции комплексной переменной

1. Функции комплексной переменной определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:

(1.4)

(1.5) (1.6) (1.7)

(1.8)

Из определения функций (10.4)-(10.8) следуют формулы, связывающие их:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Элементарные функции (1.4) – (1.8) являются однозначными и непрерывными на всей комплексной области Z.

2. Показательная функция совпадает с обычной функцией для нее справедлива теорема сложения

Функция периодическая с чисто мнимым основным периодом

Тригонометрические функции для действительных совпадает с обычным синусом и косинусом, периодичны с действительным периодом - нечетная, - четная функция; подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:

и т.п.

Функция называется гиперболическим синусом; функция называется гиперболическим конусом. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции формулами (1.15,1.16).

С помощью функций (1.4) - (1.8) вводятся другие элементарные функции. 3 Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:

если:

Для нее справедливо свойство логарифмов:

В частности, полагая , получаем

(1.17)

В формуле (1.17) символ может обозначать любое значение аргумента, поэтому каждое комплексное число имеет бесчисленное множество логарифмов.

Выражение называется главным значением логарифмической функции и обозначается, как Многозначная логарифмическая функция обозначается

(1.18)

4. Общая показательная функция:

(1.19)

Эта функция представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функции, отличающихся множителями где k- целое число. Главное значение этой многозначной функции равно

где - произвольное комплексное число.

Полагая, , получаем

(1.20)

где - произвольное комплексное число.

Полагая , получаем

(1.21)

где k – целое число. При функция всегда имеет бесконечно много значений.

Если , то получаем многозначную функцию - корень n-й степени

При имеем частный случай однозначной степенной функции

К основным элементарным функциям комплексной переменной относится также дробно-рациональная функция и её частные случаи.

Дробно-рациональная функция:

(1.22)

Частные случаи этой функции:

а)линейная функция - комплексные числа

б)степенная функция

в)дробно-линейная функция