- •1. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •2. Определенный интеграл.
- •4. Свойство определенного интеграла – теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.
- •5. Замена переменной в определенном интеграле.
- •6. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
- •8. Формула Ньютона-Лейбница.
- •9. Интеграл ошибок.
- •10. Интегральный синус. Свойства.
- •11. Интегральный логарифм.
- •12. Интегрирование рациональных дробей.
- •16. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку. Теоремы сравнения.
- •14. Формула прямоугольников
- •15.Формула трапеций.
- •13. Методы рационализации.
- •1. Подстановка Эйлера.
- •2. Универсальная тригонометрическая замена.
- •3. Интегрирование тригонометрических функций.
- •17. Несобственные интегралы от неограниченной функции. Свойства.
- •18. Интеграл, зависящий от параметра.
- •19. Гамма-функция.
- •20. Нахождение площади в декартовых координатах.
- •22. Нахождение объема тела вращения.
- •21. Нахождение длины дуги в декартовых и поляных координатах.
- •23. Числовые ряды. Сходимость. Остаток ряда. Необходимый признак сходимости.
- •25. Числовые ряды. Теоремы сравнения.
- •26. Теорема (признак Коши).
- •27. Теорема (признак Даламбера).
- •28.Интегральный признак сходимости.
- •30. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •29. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •34. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
- •32. Степенные ряды.
- •37. Ряд Тэйлора для функций
- •38. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Функция Бесселя.
- •33. Ряд Тейлора. Необходимый и достаточный признаки сходимости.
4. Свойство определенного интеграла – теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:
Доказательство. Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем
Отсюда где
Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть
Геометрический смысл теоремы. Величина определенного интеграла при f(x) 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(c) и основание (b–a).
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке
[a,b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка
, такая, что
5. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть f(x) – непрерывная функция на отрезке а
Если выполняются условия: и непрерывны на отрезке а определена на этом отрезке, то
Доказательство.
Из равенства правых частей следует равенство левых.
6. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема. Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], справедливо равенство
Доказательство. Так как функции u и v дифференцируемы, получаем
Это можно записать как Отсюда,
7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Определение. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]. Функция - интеграл с переменным верхним пределом.
Теорема. Функия F непрерывна на отрезке [a,b].
Доказательство. Пусть тогда
Пусть М-верхняя граница f(x), тогда при х>x0 получаем Или при х>x0:
Следовательно, Т.е. функция непрерывна в точке х0.
Теорема Барроу. Производная от интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу.
Вторая формулировка. Пусть х0 – точка непрерывности функции, тогда существует или, иначе,
Доказательство. Можно выбрать так, что на интервале функция будет непрерывна. Возьмем произвольное значение х из данного интервала. с лежит между х и х0.
Следовательно,
8. Формула Ньютона-Лейбница.
Примечание автора. Необходимо отметить, что ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном виде. Важно именно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов.
Доказательство. Пусть F(x) – некоторая первообразная от f(x). Функция есть также первообразная от f(x). Две любые первообразные от данной функции отличаются на константу С. Тогда получаем
Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т.е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в этом тождестве х=а, тогда
Следовательно, Полагая х=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница.
Также отметим, что разность не зависит от выбора первообразной F, так как константа при вычитании все равно уничтожается.