1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках выполняется равенство F(x) = f(x).

Так как С-произвольная постоянная, у любой функции бесчисленное множество первообразных.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) – 2 первообразные от функции f(x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Пусть F₁(x) = f(x) и F₂(x) = f(x). Таким образом F₁(x) = F₂(x). Рассмотрим производную разности

(F₁(x) – F₂(x)) = F₁(x) - F₂(x) = 0.

Производная разности двух функций равна нулю, следовательно, эти функции отличаются друг от друга на константу, ч. т. д.

Следствие. Если для данной функции f(x) найдена какая-нибудь одна первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C.

Неопределенный интеграл. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом,

f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение.

Из определения неопределенного интеграла следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F(x) = f(x), то и

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

с точностью до постоянного слагаемого.

Свойства неопределенного интеграла.

Теорема1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

Доказательство. Найдем производные от левой и правой части равенства. Так как они равны, по теореме о том, что любая функция, стоящая в левой части, отличается от любой функции, стоящей в правой части, на постоянное слагаемое.

Теорема2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а=const, тогда

Доказательство. Найдем производные от левой и правой частей -

Они равны. Как и в теореме1, разность двух функций – есть постоянная.

___

При вычислении неопределенных интегралов полезно знать следующие правила:

1.

2.

3.

Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки.

Требуется найти f(x)dx. Делаем замену x = (t). Получаем f(x)dx = f((t))(t)dt.

Для того, чтобы подтвердить, что эти выражения равны, можно взять производные от левой и правой частей. Они равны.

Интегрирование по частям. Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. Тогда d(uv) = udv + vdu. Отсюда получаем Или

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.