37. Ряд Тэйлора для функций
1.
m – произвольное постоянное число.
Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности. Поэтому применим несколько другой способ, нежели для разложения функций синуса и косинуса.
Заметим, что
удовлетворяет
дифференциальному уравнению
и условию
Найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению и условию.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства:
Для коэффициентов получаем выражения:
Получаем итоговую формулу:
Если m – целое положительное число, то начиная с определенного члена, все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен.
Если m – дробное или целое отрицательное, имеем бесконечный ряд.
2.
Интегрируя равенство в пределах от 0 до х, получаем:
или
Это равенство
справедливо в интервале
Выведем формулу для выведения натуральных логарифмов любых целых чисел.
Положим, что
Тогда
Полагая
получаем
Итак, подставляя разные значения n, получаем натуральные логарифмы любых чисел.
Пример.
38. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Функция Бесселя.
Пусть требуется
найти решение дифференц.уравнения 2го
порядка
удовлетворяющее
начальным условиям
.
Допустим, что решение у=f(x)
существует и представимо в виде ряда
Тейлора :
Нам нужно найти
,
т.е. значения производных от частного
решения при
.
Дифференцируя обе
части первоначального уравнения по х
получаем:
и подставляя значение
в
правую часть, найдем:
и
при x=x0.
Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.
Уравнение Бесселя.
УБ - дифференциальное
уравнение вида:
Решение этого
уравнения, следует искать не в форме
степенного ряда, а в виде произведения
некоторой степени х на степенной ряд:
Перепишем выражение
в виде
и найдем его производные:
Приравняв
коэффициенты при х, получаем систему
уравнений. Решив ее, находим
при
Поэтому
Общее решение
уравнения
функция Бесселя
первого рода р-го порядка, решение
у1,умноженное
на некоторую константу.
функция Бесселя
первого рода р-го порядка, решение
у2,умноженное
на некоторую константу.
При целом
положительном
бесселева функция определяется, как
Частное решение
ищется в форме
Это есть функции Бесселя второго рода n-го порядка.
33. Ряд Тейлора. Необходимый и достаточный признаки сходимости.
Формула Тэйлора выглядит следующим образом:
остаточный член. Для тех значений х, которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное значение функции f(x).
Для
того, чтобы функция раскладывалась в
ряд Тейлора, необходимо и достаточно,
чтобы остаточный член стремился к нулю.
То есть
при
Доказательство.
где
Так как, по условию,
то
Но
- есть n-ная
частичная сумма ряда; ее предел равен
сумме ряда, стоящего в правой части
равенства (
).
Следовательно, равенство справедливо.
Из предыдущего
следует, что ряд Тейлора представляет
данную функцию f(x)
только при
Если предел не равен нулю, то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).