1. Неозначений інтеграл

1.1. Первісна і неозначений інтеграл

Нехай множина є інтервалом , променем чи або числовою прямою .

Визначення 1.1. Функцію називають первісною функції на множині , якщо функція диференційована на і виконується співвідношення .

Теорема 1.1. Якщо дві функції і – первісні функції на множині , то , де .

Визначення 1.2. Сукупність усіх первісних даної функції на множині називають неозначеним інтегралом функції на множині і позначають

.

Функцію називають підінтегральною, а вираз - підінтегральним виразом. Якщо - одна з первісних на , то

.

Останнє співвідношення слід розуміти як рівність між двома множинами.

1.1.1. Основні властивості неозначеного інтегралу.

.

Властивості лінійності мають місце з точністю до константи.

1.1.2. Таблиця основних інтегралів.

Нехай

№пп				№ пп
1.
2.				3.
4.				5.
6.				7.
8.				9.
10.				11.
12.				13.
14.				15.
16.				17.
18.
19.

1.2. Основні методи інтегрування

До основних методів інтегрування можна віднести

1. безпосереднє інтегрування,

2. метод підстановки (заміни), зокрема метод внесення під диференціал

3. метод інтегрування частинами.

1.2.1. Безпосереднє інтегрування.

Цей метод передбачає застосування таблиці і властивостей неозначеного інтегралу. Розглянемо приклади.

1. (№Д1638¹) .

2. (№Д1670)

3. 

1.2.2. Метод підстановки.

Теорема 1.2. Якщо функція визначена і диференційована на множині і має множину визначення , а для функції на множині існує первісна , тобто , тоді на функція має первісну, що дорівнює , тобто

.

1.2.2.1. Частковий випадок: метод інтегрування внесення під диференціал.

Розглянемо приклади

1. (№Д1675) .

2. (№Д1679) .

3. (№1697) .

4. (№Д1704) .

Наступний інтеграл відноситься до найпростіших і інтегрується методами внесення під диференціал і методом безпосереднього інтегрування.

Інтеграли виду

інтегруються розкладом чисельника в суму двох доданків, одним з яких є похідна від квадратного тричлена знаменника, помножена на константу, а іншим – стала, а саме:

Перший з отриманих інтегралів береться занесенням під диференціал, а другий ‑ виділенням повного квадрату:

Відповідь буде залежати від . Розглянемо приклад.

8. (№Д1852)

.