19. Дослідження на локальний і тотальний екстремум функції багатьох змінних. Поняття про умовний екстремум.

Визначення ( loc max функції багатьох змінних)

т. наз. т. loc max , якщо

1) внутрішня точка мн. Визначення цієї функції

2) в т. значення функції є найбільшим серед усіх значень в деякому цієї точки ( або ).

Теорема. ( необх. умова loc екстремума)

Якщо: 1) - внутр.т.

2) - loc extr (строго)

3) Існують усі частинні похідні

Тоді

Теорема. ( достат.. умова loc екстремума функ. багатьох змінних)

Нехай має непер.часткові похідні другого порядку в околі стац.т. ( ) звідси у випадку:

1. Кв.форма другого диф. додатньо визначена., то в т. - локальний мінімум

2) , то - локальний максимум

3) знакозмінна, то т. немає екстремума

Визначення( умовний екстремум)

Функція за умови зв’язку

маємо умовний max(min) в т. , коли координати цієї точки задовольняють умовам зв’язку і у деякому -околі цієї точки функція приймає найбільше(найменше) значення.

20 Численные ряды, признаки их сх-ти. Абсолютно и условно сх-ся ряды,их св-ва

Рядом наз. посл-ть . Числовой ряд – выражение вида , где образуют бесконечную посл-ть. Суммы , наз частичными суммами ряда, а член - общим членом ряда. Если посл-ть частичных сумм имеет предел (при n ) , то ряд наз-ся сх-ся, а число - суммой ряда. Обознач-е: . Если предела не сущ., то ряд – расх-ся.

Необходимое условие сходимости ряда:

Общий член ряда должен при стремится к нулю: збігається .

Критерий Коши сходимости ряда:

Числовой ряд явл. сх-ся тогда и только тогда, когда для любого >0 существует такое N что для любого и для любого натурального p выполняется: .

Свойства сх-ся рядов:

1. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении (сх-ти или расх-ти) ряда.

2. Если члены сх-ся ряда умножить на один и тот же множитель с, то его сходимость не нарушится.

3. Сх-ся ряды можно почленно складывать и вычитать: из сходимости ряда с суммой и с суммой следует, что ряд сх-ся и его сумма равна .

Числовые ряды с положительными членами: , - числовой ряд с положительными членами.

Теорема.( необхідні та достатні умови збіжності ряду)

Для того щоб зб. Необхідно і достатньо - обмежена

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения. Если два ряда и имеют положительные члены и, начиная с некоторого n, , то из сходимости первого ряда следует сходимость второго, а из расходимости второго ряда следует расходтмость первого.

2. Признак сравнения в предельной форме. Если существует придел . Тогда первый ряд эквивалентен второму (т.е. ведут себя одинаково).

Интегральный признак Коши-Маклорена. Пусть ф-я неотрицательна и невозрастает на [1,+ ), тогда ряд

3. и ведут себя одинаково. (ф-я невозрастает на (а,b), если для любых и : : ).

4. Признак Даламбера. 1) Если начиная с некоторого номера для любого вып-ся ,то ряд – сх-ся, если это отношение , то ряд – расх-ся. 2) Если , то при - ряд сходится, при - ряд расх-ся, - нельзя сказать.

5. Признак Коши. 1) Если начиная с некоторого номера для любого вып-ся ,то ряд – сх-ся, если это отношение , то ряд – расх-ся. 2) Если , то при - ряд сх-ся, при - ряд расх-ся, - нельзя сказать.

Абсолютная и условная сходимость.

6. Ознака Кумера.

− довільна фікс. Послідовність:

1)

2) розб.- ця умова необх. Лише при дослід-і на розб.

3)

Якщо I) - збіг.

II) - розб.

7. Ознака Раабе

скінченна або нескінченна

Тоді I) -розб.

II) - зб.

III) - тобто невідомо

8. Ознака Бертрана

Тоді - розб.

- зб.

- невідомо

9. Ознака Гауса

Т оді I) - зб.

I I) - розб.

21. Знакозмінні та знакопочережні ряди. Ознаки їх збіжності. Абсолютно і умовно збіжні ряди та їх властивості.

До довільних рядів відносять ряди, які містять як додатні так і від’ємні члени. Якщо ряд містить скінчену кількість від’ємних елементів, то на них можна не звертати увагу і досліджувати цей ряд на збіжність, як знакододатний. Якщо додатних скінченна кількість, то досліджувати ряд на збіжність, як знаковід’ємний, роблячи висновок про його збіжність, досліджуючи ряд із його модулів . Такі ряди не відносять до довільних, а без обмеження роздумів вважають знакопостійними. За цієї причини, до довільних рядів відносять ряди, що містять нескінчену кількість як додатних так і від’ємних членів.

Під довільним рядом розуміємо ряд, що містить нескінченну кількість додатних і від’ємних членів. Довільні ряді називають знакозмінними. Частковим випадком знакозмінних рядів є ряди знакопочережні:

.

Знакопочережні ряди досліджуються на збіжність за допомогою ознаки Лейбніца.

Знакозмінні ряди загального вигляду (ті, що не є знакопочережними) досліджуються на збіжність за допомогою ознак Абеля і Діріхле.

Теорема (ознака Абеля).

.

Теорема (ознака Діріхле).

.

Теорема (ознака Лейбніца).

.

Означення. – абсолютно збіжний – збіжний.

Означення. – умовно збіжний