32. Принцип сжимающих отображений.

Пусть метрические пространства. Любое отображение называется оператором действующим из пространства в пространство .

Оператор называется оператором сжатия, если существует такое число для которого выполняется неравенство: , константа называется константой сжатия.

Неподвижной точкой оператора называется любой такой элемент , который удовлетворяет равенству .

Метрическое пространство называется полным, если любая сходящаяся в себе последовательность элементов является сходящейся в этом метрическом пространстве. Следовательно метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда для любой последовательности его элементов выполняется следующее (критерий Коши): .

( Принцип сжимающих отображений ). Пусть полное метрическое пространство и оператор сжатия. Тогда в пространстве существует единственная неподвижная точка оператора .

33. Мера лебега в конечном евклидовом пространстве.

Мерой , заданной на произвольной системе подмножеств множества х наз. такая функция , которая удовлетворяет 2-е аксиомы: 1) - неотрицательность; 2) если А, В и то справедливо равенство: - условие адетивности. Мерой Лебега – мера заданная на - алгебре соотношением .( внешняя мера множества А). алгебра: счетно – адетивная мера задана на полукольце Р(х) подмножеств х, для которых ; символом будем обозначать совокупность всех таких подмножеств мн-ва х, каждое из которых измеримо по Лебегу, отсюда алгебра является алгеброй. Счетно-аддетивная мера- мера заданная на системе G(x) подмн-в мн-ва х, если она удовл-т след. условию: и - условие аддетивности меры.

Множество наз. n-мерным паралелепип-м, если существуют такие промежутки , что Для чисел удовлетворяющих условию . Рассмотрим порождаемое ими множество В задаваемое равенством: . Рассмотрим совокупность Р(В) всех n- мерных параллелепипедов, содержащихся в В. Очевидно, эта система является полукольцом. Зададим на этой системе меру m след. образом : , где обозначает длину промежутка . Т.о. мере паралелеп. А= его n-мерному V. Поскольку В , то указанную меру m можно продолжать до счетно-адетивной меры , заданной на алгебре L(B) след. образом ; .

Обозначим теперь символом совокупность всех n-мерных парал-в содержащихся в . Рассмотрим систему и обобщенную меру , задав их след образом: раз.

Множество наз. измеримым по Лебегу, если, и только если . Построенная обобщенная мера наз. мерой Лебега в n-мерном Евклидовом пр-ве.

34. Интеграл лебега.

Интеграл Лебега для простой функции. Функция , заданная на измеримом множестве Е наз. простой, если существуют такое мн-во , такие измеримые подмножества и такие действительные числа , что выполнены след. соотношения: (1). Простая функция зад. на измеримом мн-ве Е соотношением (1) наз. интегрируемой по Лебегу на Е (или суммируемой на Е), если сходиться числовой ряд: . При этом интеграл Лебега от на мн-ве Е наз. такое обозначаемое символом: действ. число, которое определяется след. равенством: (2). Из этого определения следует, что если только мн-во I входит в ф-лы (1) конечно, то заданная этой формулой фенкция заведомо интегрируема по Лебегу на Е.

Интеграл Лебега для измеримой функции. Функция , зад. на мн-ве Е наз. измеримой, если для мн-во явл. измеримым. (т.е. ). Измеримая функция , зад. на измеримом мн-ве Е, наз. интегрируемой по Лебегу на мн-ве Е (или суммируемой на Е), если существует последовательность простых, зад. на Е и интегрируемых по Лебегу на Е к функции .При этом интегралом Лебега от по мн-ву Е наз. такое обозначаемое символом действ. число, кот. определяется след. образом: (3).

Установим корректность заданного определения. Покажем, что предел, стоящий в правой части рав-ва (3) существует и конечен:

(св-во 4 инт-ла Лебега)

(КритерийКоши) ;

Т.о. существование конечного предела док-но в силу критерия Коши.

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА.

Свойства инт. Лебега для простых функций. 1. Если Е- измеримое мн-во и , то такая функция интегрируема по Лебегу на Е и . 2. Если простая функция зад. на измеримом мн-ве явл. интегрируемой по Лебегу на Е, то функция также интегр. по Лебегу на Е 3. Если простые функции , , зад. на измеримом мн-ве Е явл. суммируемы на Е, то и функция также явл. суммируемой на Е и справедливо рав-во: (1). 4. Пусть простая функция , зад. на измеримом мн-ве Е явл. интегрируемой по Лебегу на Е и удовлетворяет условию: (где -некоторое полож. число), тогда справедливо нер-во: .

Докажем св-во 3. Рассмотрим простой частный случай.

. .

В этом случае интегрир. , а также справедливость формулы (1) легко установить: ,

Свойства инт. Лебега выраженного нер-ми. 1. Пусть измеримая на Е функция удовл. условию: . Тогда функция интегр. по Лебегу на Е и справ-во нер-во: . 2. Пусть измеримая на Е функция удовл. нер-ву: . Тогда, если интегрир. по Лебегу на Е,то . 3. Пусть измеримые на Е функции и итегрир. по Лебегу на Е и удовл. нер-ву: . Тогда . 4. Пусть измеримые на Е функции и удовл. нер-ву: . Тогда, если интегрир. по Лебегу на Е, то и функция также интегрир. по Лебегу на Е.