Дифференциальная форма

Закон Гаусса

Электрический заряд является источником электрической индукции. Закон Гаусса для магнитного поля

Не существует магнитных зарядов.[~ 1] Закон индукции Фарадея

Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.[~ 1] Закон Ампера — Максвелла

Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

•  — плотность стороннего электрического заряда

•  — плотность электрического тока

•  — скорость зарядов в данной точке;

•  — скорость света

•  — напряжённость электрического поля

•  — напряжённость магнитного поля

•  — электрическая индукция

•  — магнитная индукция

•  — дифференциальный оператор набла, при этом:

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского—Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Закон Гаусса

Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s. Закон Гаусса для магнитного поля

Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют). Закон индукции Фарадея

Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s. Закон Ампера — Максвелла

Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность s, пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.

  — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объем , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).

  — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью

  — электрический ток, проходящий через поверхность

Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин

Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе

,

,

где  — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2,  — плотность поверхностных токов вдоль границы. Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие перпендикулярны границе раздела, можно получить:

,

де  — поверхностная плотность зарядов.

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:

,

Важным частным случаем является граница раздела диэлектрика и идеального проводника. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:

,

,

,

Синусоидальный ток, переменный ток, являющийся синусоидальной функцией времени вида: i = Im sin (wt + j), где i - мгновенное значение тока, Im - его амплитуда, w - угловая частота, j - начальная фаза. Т. к. синусоидальная функция имеет себе подобную производную, то во всех частях линейной цепи Синусоидальный ток напряжения, токи и индуцируемые эдс также являются синусоидальными. Целесообразность применения Синусоидальный ток в технике связана с упрощением электрических устройств и цепей (как и их расчётов).