Упражнения.

1. а) Найти координаты центра С и радиус R окружности х² + у² + 8х - 9 = 0.

б) Написать уравнение окружности с центром С(1, 0), проходящей через начало координат.

в) Написать уравнение окружности с центром С(1/2, 1/2), касающейся осей координат.

г) Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок с концами А(-1, 2) и В(5, 6).

2. Написать уравнение прямой, проходящей через центры окружностей: х² + у² – 6x - 8у - 3 = 0 и х² + y² + x – 3y - 1 = 0.

Определить расстояние между центрами этих окружностей.

3. Найти уравнение общей хорды окружностей:

х² + у² - 4х - 2у - 13 = 0 и х² + у² - 2х - 4у - 15 = 0.

4. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса х² + 2у² = 8. Построить этот эллипс.

5. а) Написать каноническое уравнение эллипса, длина малой оси которого равна 6, а фокусное расстояние равно 8.

б) Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7.

в) Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояния от его фокуса до концов большой оси равны 2 и 18.

6. Найти длину диаметра (хорды, проходящей через центр эллипса) 5х² + 7у² = 24, делящего угол между осями координат пополам.

7. а) Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет

гиперболы 9х² - 16у² = 36.

б) Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 8, а расстояние между фокусами равно 1.

Построить эти гиперболы.

8. Найти длину диаметра эллипса + = 1, перпендикулярного асимптоте гиперболы - =1, проходящей в I и III квадрантах.

9. Найти эксцентриситет гиперболы - = 1и сопряженной с ней гиперболы.

10. Найти расстояние между фокусом F₁ гиперболы - =1

и фокусом F₂ сопряженной с ней гиперболы.

11. Найти уравнения прямых, каждая из которых проходит через фокус гиперболы - =1 и фокус сопряженной с ней гиперболы.

12. Асимптоты гиперболы имеют уравнения у = х и у = - х.

Найти эксцентриситет гиперболы, если действительная ось ее совпадает с осью Ох.

13. Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 10.

14. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у = 0,25х².

15. Поперечный разрез зеркала прожектора имеет форму параболы. Определить положение фокуса, если диаметр зеркала 60 см, а глубина 30 см.

16. Дана парабола у² = 12х. Найти длину ее хорды, проходящей через точку М(8, 0) и наклоненной к оси параболы под углом 60°.

17. Написать уравнение линии, точки которой равноотстоят от точки А(0, 2) и оси Ох.

18. Привести уравнение параболы у = 2х² - 8х + 5 к каноническому виду и определить координаты ее вершины.

19. Привести уравнение параболы у = -3 + 4х — х² к каноническому виду и определить координаты ее вершины.

20. Привести уравнение параболы х = у² -у + 2 к каноническому виду и определить координаты ее вершины.