§ 10. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Известный факт, что через две не совпадающие между собой точки можно провести прямую, и притом только одну. Рассмотрим две точки Р(х₁, у₁) и Q(х₂, у₂).

Уравнение прямой PQ имеет вид: при условии, что у₁ ≠ у₂.

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки Р(4, -2) и Q(3, -1).

На основании уравнения имеем: или у = -х +2.

§ 11. Уравнение прямой линии в «отрезках»

Рассмотрим прямую, которая отсекает на осях координат отрезки ОА и ОB. Эта прямая проходит через точки А(а, 0) и В(0, b), поэтому уравнение ее легко получается из уравнения , если положить в нем х₁ = а, у₁ = 0, х₂ = 0, у₂ = b.

Имеем: . Отсюда получим: и окончательно:

Это и есть так называемое уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат или параллельной одной из осей координат, не может быть записано как уравнение прямой в «отрезках».

Пример 1. Написать уравнение прямой АВ, отсекающей на оси Ох отрезок ОА = 5 и на оси Оу отрезок ОВ = -4.

Полагая в уравнении а = 5 и b = -4, получим .

§ 12. Точка пересечения двух прямых

Пусть имеем две прямые, заданные своими уравнениями в общем виде: Ах + Ву + С = 0 и А^/х + B^/y + C^/ = 0.

Точка пересечения этих прямых лежит как на первой прямой, так и на второй. Поэтому координаты точки пересечения должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению второй прямой. Следовательно, для того чтобы найти координаты точки пересечения двух данных прямых, достаточно решить систему уравнений этих прямых.

Координаты точки пересечения прямых определяются в виде:

х = - , у = - или

введя определители второго порядка, получим:

х = - , у = - .

Для заданных двух прямых возможны три случая:

1. АВ^/ - A^/B ≠ 0, т. е. . Прямые не параллельны. Координаты их единственной точки пересечения определяются по приведенной выше формуле.

2. АВ^/ - A^/B = 0, СB^/ - C^/B ≠ 0 или AC^/ - A^/C = 0 т. е. .

Прямые параллельны и точки пересечения нет.

3. АВ^/ - A^/B = 0, СB^/ - C^/B = 0, AC^/ - A^/C = 0 т. е. .

Прямые сливаются, и, таким образом, существует бесчисленное множество точек пересечений.

Пример 1. Решая совместно систему уравнений прямых

3х + 4у -10 = 0,

2х + 5у – 9 = 0, получаем х = 2 и у = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке М(2, 1).

§ 13. Расстояние от точки до прямой линии

Рассмотрим прямую линию KL, заданную своим уравнением

Ах + Ву + С = 0,

и некоторую точку М(х₁, у₁). Под расстоянием от точки М до прямой KL понимается длина перпендикуляра d = MN, опущенного из точки М на прямую линию KL.

П о формуле d = - определяется расстояние от точки М до прямой KL.

Полагая, что х₁ = 0 и у₁ = 0, получаем расстояние от начала координат до прямой: d₀ = .

Пример 1. Определить расстояние от точки М(-2, 7) до прямой 24х + 7у -2 = 0.

Отсюда искомое расстояние есть d =