§ 5. Уравнение прямой линии

Пусть PQ – некоторая прямая на плоскости Оху. Через произвольную точку М₀(х₀, у₀) этой прямой проведем прямую М₀х^/, п араллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда угол φ (0 ≤ φ ≤ π), образованный полупрямой М₀Q и прямой М₀х^/ называется углом между данной прямой и осью Ох.

Этот угол не зависит от выбора точки М₀.

Начальная точка прямой М₀ и угол φ однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

Уравнение y = b + kx представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом. Постоянные величины b и k (параметры) имеют следующие значения: b – начальный отрезок, отсекаемый на оси Оу, k = tg φ – угловой коэффициент прямой. При k = 0 получаем уравнение прямой у = b, параллельной оси Ох.

Уравнения осей координат: у = 0 (ось Ох) и х = 0 (ось Оу).

Уравнение прямой есть уравнение первой степени относительно текущих координат х и у.

Общее уравнение прямой линии на плоскости записывается в виде: Ах + Ву + С = 0.

§ 9. Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые, заданные их уравнениями с угловыми коэффициентами:

у = kx + b, где k = tg φ, и у = k^/x + b^/, где k^/ = tg φ^/

П од углом θ будем понимать наименьший угол, отсчитываемый против хода часовой стрелки, на который вторая прямая повернута относительно первой (0 ≤ θ < π). Формула tg θ = дает выражение тангенса угла между двумя прямыми через угловые коэффициенты этих прямых.

Прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой.

Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратные по величине и противоположные по знаку, т.е. k = - 1/k^/.

Пусть уравнения прямых линий заданы в общем виде:

Ах + Ву + С = 0 и А^/x + B^/y + C^/ = 0.

Отсюда, предполагая, что В ≠ 0 и В^/ ≠ 0, получаем

у = - х - и у = - х - .

Следовательно, угловые коэффициенты этих прямых есть

k = - , k^/ = - .

Тогда, условие параллельности прямых: и условие перпендикулярности прямых: АА^/ + BB^/ = 0.

§ 9. Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая PM образует угол φ с положительным направлением оси Ох и проходит через заданную точку Р(х₁, у₁), тогда у -у₁ = k(х - x₁) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Если прямая, проходящая через точку Р(х₁, у₁) параллельна оси Оу, то ее уравнение, очевидно, будет: х = х₁.

Если k – заданное число, то уравнение у - у₁ = k(х - x₁) представляет вполне определенную прямую.

Если k – переменный параметр, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через данную точку Р(х₁, у₁), при этом k называется параметром пучка.ъ

Примеры:

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р(3, 2) и параллельной прямой у = х - 7.

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то ее угловой коэффициент k = . Следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид: у – 2 = (х – 3) или у = х – 2.

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р(4, 5) и перпендикулярной к прямой: у = - х + 7.

Так как искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом k = - , то ее угловой коэффициент будет k^/ = - = . Следовательно, на основании формулы у - у₁ = k(х - x₁) уравнение этой прямой будет иметь вид: у – 5 = (х – 4) или у = х – 1.