§ 4. Уравнение линии на плоскости

Линия на плоскости задается как множество точек, обладающих некоторыми геометрическими свойствами.

Например, окружность радиуса R есть множество точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой точки 0, называемой центром окружности.

Биссектриса угла есть множество всех точек, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон.

Определение. Уравнением линии на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на данной линии. Уравнение линии – это основное понятие аналитической геометрии.

Если точка М(х, у) передвигается по линии К, то ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки М(х, у) называются текущими координатами точки линии К.

Упражнения.

Пример 1. Составить уравнение окружности данного радиуса R с центром в начале координат.

Решение. Возьмем на окружности произвольную точку М(х, у) и соединим ее с центром О. По определению окружности имеем ОМ = R, т.е. = R, откуда х² + у² = R². Данное уравнение связывает между собой координаты х и у каждой точки данной окружности представляет собой уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат.

Пример 2. Составить уравнение биссектрисы I и III координатных углов.

Решение. Возьмем на биссектрисе произвольную точку М(х, у). Если точка М лежит в I квадранте, то абсцисса и ордината ее обе положительны и равны между собой (по свойству биссектрисы). Если же точка М(х, у) лежит в III квадранте, то абсцисса и ордината будут обе отрицательны, а модули их равны, поэтому будут равны и координаты х и у этой точки. Следовательно, в обоих случаях имеем у = х.

Уравнение у = х представляет собой уравнение биссектрисы I и III координатных углов.

Пример 3. Составить уравнение прямой, параллельной оси ординат.

Решение. Пусть прямая АВ || Оу и пусть отрезок ОА = а. Тогда для любой точки М(х, у) прямой АВ ее абсцисса х равна а, т. е. х = а. Уравнение х = а представляет собой уравнение прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от нее на расстоянии, равном числовому значению а. Если прямая расположена справа от оси Оу, то а положительно, если же прямая расположена слева от оси Оу, то а отрицательно. При а = 0, получаем уравнение оси ординат х= 0.

Пример 4. Составить уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

Решение. Прямая СD || Ох и ОС = b, то ее уравнение будет - у = b; при этом если прямая СВ расположена выше оси Ох, то b положительно, если же прямая СD расположена ниже оси Ох, то b отрицательно. При b = 0 получаем уравнение оси абсцисс: у = b.

Пример 5. Найти линию, расстояние точек которой от точки В(12, 16) в два раза больше, чем от точки А(3, 4).

Решение. Если М(х, у) – произвольная точка искомой линии, то согласно условию задачи имеем 2АМ = ВМ.

Чтобы составить уравнение этой линии, надо выразить АМ и ВМ через координаты х и у точки М. На основании формулы расстояния между двумя точками имеем

АМ = , ВМ = ,

Откуда, согласно соотношению 2АМ = ВМ,

2 = . Это и есть уравнение искомой линии.

Упростим это уравнение. Возведем обе части в квадрат и, раскрыв скобки, получим

4х² – 24х +36 + 4у² -32у + 64 = х² -24х +144 + у² – 32у + 256,

или после преобразований имеем равносильное уравнение

х² + у² = 100

Искомая линия является окружностью радиуса 10 с центром в начале координат.