2.3. Интервальные оценки. Точность и надежность оценок

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.

Пусть по данным выборки для оценки параметр известного распределения генеральной совокупности подобрана статистика . Заменяя неизвестное значение числом , мы совершаем ошибку. Тогда случайная величина – абсолютное значение ошибки. Если >0 и |– |<, то чем меньше , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число  характеризует точность оценки. Однако статистические методы не позволяют категорично утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству |– |<; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется. Если известен закон распределения случайной величины , то эту вероятность можно найти . Если для небольших  вероятность  достаточно велика, то число можно считать точной и надежной оценкой неизвестного параметра .

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |— |<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве  берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть .

Заменив неравенство | – | <  равносильным ему двойным неравенством – <— < , или – < < + , имеем

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал ( – , + ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Доверительным называют интервал ( – , + ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

2.4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности, когда дисперсия 2 генеральной совокупности известна

Рассмотрим случайную величину – выборочное среднее:

.

Так как генеральная совокупность распределена по нормальному закону, тоже имеет нормальное распределение, , . Рассмотрим интервал , или . Ширину этого интервала определим из условия , где  – заданная доверительная вероятность.

Можно показать, что в этом случае , где число t определяется из таблицы функции Лапласа из условия .

Таким образом, получаем

.

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью  можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а.

Замечание 1. Оценку называют классической. Из формулы можно сделать следующие выводы:

1. при возрастании объема выборки п число  убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;

2. увеличение надежности оценки  = 2Ф(t) приводит к увеличению t (Ф (t) – возрастающая функция), следовательно, и к возрастанию ; другими словами, увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Замечание 2. Когда объем выборки при построении доверительного интервала для a можно пользоваться нормальным распределением, подставляя в формулу для ширины интервала вместо неизвестного значения  число s, определяемое по выборке.

Замечание 4. Оценка истинного значения измеряемой величины. Пусть производится п независимых равноточных измерений некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины . Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии ² (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в предыдущих параграфах, выполняются, и, следовательно, мы вправе использовать полученные в них формулы. Другими словами, истинное значение измеряемой величины можно оценивать по среднему арифметическому результатов отдельных измерений при помощи доверительных интервалов.